江苏师范大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明：$\displaystyle f(x) \mid g(x) \Leftrightarrow \forall h(x) \in P[x]$ ，有 $\displaystyle (f(x)$ ， $\displaystyle h(x)) \mid(g(x), h(x))$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性：假设f(x)整除g(x)，证明对任意h(x)有(f,h)整除(g,h)
设 $f(x) \mid g(x)$，则存在 $q(x) \in P[x]$ 使得 $g(x)=f(x)q(x)$。对任意 $h(x) \in P[x]$，令 $d_1(x)=(f(x),h(x))$，$d_2(x)=(g(x),h(x))$。由于 $d_1(x) \mid f(x)$ 且 $d_1(x) \mid h(x)$，而 $f(x) \mid g(x)$，所以 $d_1(x) \mid g(x)$，从而 $d_1(x)$ 是 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的公因式，故 $d_1(x) \mid d_2(x)$。
提示：注意最大公因式的定义：$d_1(x)$ 是 $f(x)$ 和 $h(x)$ 的最大公因式，因此它整除 $f(x)$ 和 $h(x)$。
步骤 2/6
目标：充分性：假设对任意h(x)有(f,h)整除(g,h)，取h=g得到(f,g)整除g
假设对任意 $h(x) \in P[x]$，有 $(f(x),h(x)) \mid (g(x),h(x))$。取 $h(x)=g(x)$，则 $(f(x),g(x)) \mid (g(x),g(x))=g(x)$。
提示：注意 $(g,g)=g$，因为 $g$ 的最大公因式是自身。
步骤 3/6
目标：利用Bezout等式表示(f,g)为f和g的组合
由于 $(f(x),g(x))$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式，存在 $u(x),v(x) \in P[x]$ 使得 $(f(x),g(x)) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$。
公式：Bezout等式：$(f,g)=uf+vg$
提示：Bezout等式在多项式环中成立，系数在数域中。
步骤 4/6
目标：代入g的表达式并整理，得到(f,g)整除u(x)f(x)
由 $(f,g) \mid g$，设 $g(x) = (f(x),g(x)) \cdot k(x)$，代入Bezout等式得：$(f,g) = uf + v(f,g)k$，整理得 $(f,g)(1 - vk) = uf$，所以 $(f,g) \mid uf$。
提示：注意移项时不要出错：$(f,g) - v(f,g)k = uf$。
步骤 5/6
目标：取h=f，得到f整除(f,g)，从而f=(f,g)
取 $h(x)=f(x)$，则条件给出 $(f,f)=f \mid (g,f)=(f,g)$，所以 $f \mid (f,g)$。又因为 $(f,g) \mid f$（最大公因式整除每个多项式），故 $f(x) = (f(x),g(x))$。
提示：注意 $(f,f)=f$，因为 $f$ 的最大公因式是自身。
步骤 6/6
目标：由f=(f,g)且(f,g)整除g，推出f整除g
由 $f(x) = (f(x),g(x))$ 且 $(f(x),g(x)) \mid g(x)$，立即得到 $f(x) \mid g(x)$。
提示：整除关系具有传递性：若 $a=b$ 且 $b \mid c$，则 $a \mid c$。
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