江苏师范大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．证明：$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{T} A X=0$ 的解空间相同。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明必要性：AX=0的解是A^TAX=0的解
设 $X$ 满足 $AX=0$，则 $A^T A X = A^T (AX) = A^T 0 = 0$，所以 $X$ 也是 $A^T A X=0$ 的解。因此 $AX=0$ 的解空间包含于 $A^T A X=0$ 的解空间。
公式：A^T A X = A^T (AX)
提示：注意矩阵乘法结合律：先计算AX，再左乘A^T。
步骤 2/3
目标：证明充分性：A^TAX=0的解是AX=0的解
设 $X$ 满足 $A^T A X = 0$，则 $X^T A^T A X = (AX)^T (AX) = \|AX\|^2 = 0$。由于向量范数的平方为零当且仅当向量为零，故 $AX=0$。因此 $X$ 也是 $AX=0$ 的解，所以 $A^T A X=0$ 的解空间包含于 $AX=0$ 的解空间。
公式：\|AX\|^2 = (AX)^T (AX) = X^T A^T A X
提示：注意 $X^T A^T A X = (AX)^T (AX)$ 是标量，且非负。
步骤 3/3
目标：总结两个解空间相等
由前两步，$AX=0$ 的解空间与 $A^T A X=0$ 的解空间互相包含，因此它们相同。
提示：两个集合互相包含即相等。
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