江苏师范大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 在正交变换 $\displaystyle x=Q y$ 的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第 3 列列向量为 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T}$ ，求正交矩阵 $Q$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析标准形与特征值
由题意，二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=X^T A X$ 在正交变换 $x=Qy$ 下的标准形为 $y_1^2+y_2^2$，说明矩阵 $A$ 的特征值为 $1,1,0$。因为标准形中 $y_1^2$ 和 $y_2^2$ 的系数为1，$y_3^2$ 的系数为0。
公式：正交变换下标准形与特征值的关系
提示：注意标准形中平方项的系数即为特征值，且正交变换不改变特征值。
步骤 2/6
目标：确定已知特征向量
$Q$ 是正交矩阵，其第3列为 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T$，对应特征值0的特征向量。因为正交变换下，$Q$ 的列向量是 $A$ 的单位正交特征向量，且第3列对应特征值0。
提示：注意正交矩阵的列向量是单位正交的特征向量。
步骤 3/6
目标：构造与已知向量正交的向量
设 $\alpha_3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T$。求与 $\alpha_3$ 正交的向量，即满足 $\frac{1}{\sqrt{2}}x_1 + 0\cdot x_2 + \frac{1}{\sqrt{2}}x_3 = 0$，即 $x_1 + x_3 = 0$。取 $\alpha_1 = (0,1,0)^T$，显然与 $\alpha_3$ 正交且单位化。
公式：正交条件：$\alpha_3 \cdot \alpha_1 = 0$
提示：注意单位化，确保向量模长为1。
步骤 4/6
目标：构造第二个正交向量
再取 $\alpha_2$ 与 $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 都正交，可通过叉积得到：$\alpha_2 = \alpha_3 \times \alpha_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T$，其模长为1。
公式：叉积公式：$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$
提示：叉积结果自动与两个向量正交，但需检查模长是否为1。
步骤 5/6
目标：组装正交矩阵
将 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 作为列向量构成正交矩阵 $Q$：
\[ Q = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}. \]
提示：注意列的顺序：前两列对应特征值1，第三列对应特征值0。
步骤 6/6
目标：验证正交性和行列式
验证 $Q$ 是正交矩阵：列向量单位正交。计算行列式：$\det Q = 0\cdot(0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} - 0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}})(1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} - 0\cdot0) + \frac{1}{\sqrt{2}}(1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} - 0\cdot0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，是旋转矩阵。
公式：行列式计算
提示：正交矩阵的行列式应为 $\pm 1$，这里为1表示旋转。
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