江苏师范大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $A$ 是数域 $P$ 上的一个 $n$ 阶可逆方阵，$A$ 的前 $r$ 个行向量组成的矩阵为 $\displaystyle A_{1}$ ，后 $\displaystyle n -r$ 个行向量组成的矩阵为 $\displaystyle A_{2}, n$ 元线性方程组 $\displaystyle A_{1} x=0$ 与 $\displaystyle A_{2} x=0$ 的解空间分别为，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与符号设定
设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆方阵。将 $A$ 按行分块为 $A = \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix}$，其中 $A_1$ 是 $r \times n$ 矩阵，由 $A$ 的前 $r$ 行组成；$A_2$ 是 $(n-r) \times n$ 矩阵，由 $A$ 的后 $n-r$ 行组成。考虑线性方程组 $A_1 x = 0$ 和 $A_2 x = 0$，其解空间分别记为 $V_1$ 和 $V_2$。需要证明 $P^n = V_1 \oplus V_2$，即 $P^n$ 是 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和。
提示：注意 $A$ 可逆，因此行向量线性无关。
步骤 2/5
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
任取 $x \in V_1 \cap V_2$，则 $A_1 x = 0$ 且 $A_2 x = 0$。于是 $A x = \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} A_1 x \\ A_2 x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$。由于 $A$ 可逆，齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解，故 $x = 0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$A x = 0$ 只有零解当且仅当 $A$ 可逆。
提示：注意 $A$ 可逆是证明交为零的关键。
步骤 3/5
目标：计算 $V_1$ 和 $V_2$ 的维数
由于 $A$ 可逆，其行向量线性无关，因此 $A_1$ 的行向量线性无关，$\mathrm{rank}(A_1) = r$；同理 $\mathrm{rank}(A_2) = n-r$。解空间 $V_1$ 的维数为 $n - \mathrm{rank}(A_1) = n - r$；$V_2$ 的维数为 $n - \mathrm{rank}(A_2) = n - (n-r) = r$。故 $\dim V_1 = n-r$，$\dim V_2 = r$，且 $\dim V_1 + \dim V_2 = n$。
公式：$\dim V_i = n - \mathrm{rank}(A_i)$
提示：注意 $A_1$ 和 $A_2$ 的行向量线性无关是因为 $A$ 的行向量线性无关。
步骤 4/5
目标：证明 $P^n = V_1 + V_2$
由维数公式，$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) = (n-r) + r - 0 = n$。由于 $V_1 + V_2$ 是 $P^n$ 的子空间，且维数等于 $n$，故 $V_1 + V_2 = P^n$。
公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$
提示：维数公式是证明和空间等于全空间的关键。
步骤 5/5
目标：得出直和结论
由 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 和 $P^n = V_1 + V_2$，根据直和的定义，可得 $P^n = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足交为零且和等于全空间。
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