湖南大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & & & \\ & 1 & -1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -1 \\ & & & & 1\end{array}\right)$ ．求 $\displaystyle A^{-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别矩阵结构
矩阵 $A$ 是 $n$ 阶上三角矩阵，主对角线元素全为1，次对角线元素全为-1，其余元素为0。即 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵是上三角的，且只有主对角线和次对角线非零。
步骤 2/7
目标：将A表示为I-N
令 $N$ 为次对角线元素为1的矩阵，即 $N_{i,i+1}=1$，其余为0。则 $A = I - N$，其中 $I$ 是单位矩阵。例如，当 $n=3$ 时，$N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$A = I - N$
提示：注意 $N$ 的次对角线元素是1，不是-1。
步骤 3/7
目标：验证N是幂零矩阵
计算 $N$ 的幂：$N^2$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1当且仅当 $j-i=2$，$N^3$ 当 $j-i=3$，依此类推。由于 $N$ 是严格上三角矩阵，$N^n = 0$。例如，$N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$N^n = 0$
提示：幂零指数为 $n$，即 $N^n=0$ 但 $N^{n-1} \neq 0$。
步骤 4/7
目标：应用几何级数公式求逆
由于 $A = I - N$ 且 $N$ 幂零，利用公式 $(I - N)^{-1} = I + N + N^2 + \cdots + N^{n-1}$。这是因为 $(I - N)(I + N + \cdots + N^{n-1}) = I - N^n = I$。
公式：$(I - N)^{-1} = \sum_{k=0}^{n-1} N^k$
提示：注意求和到 $n-1$ 而不是无穷，因为 $N^n=0$。
步骤 5/7
目标：计算N^k的结构
$N^k$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1当且仅当 $j-i = k$，否则为0。即 $N^k$ 是第 $k$ 条上对角线为1的矩阵。例如，$N^0 = I$，$N^1 = N$，$N^2$ 的次次对角线为1，等等。
公式：$(N^k)_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } j-i = k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
提示：注意 $k$ 从0开始，$N^0=I$。
步骤 6/7
目标：求和得到A^{-1}
将 $I, N, N^2, \ldots, N^{n-1}$ 相加，得到 $A^{-1}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1当且仅当 $j \ge i$（因为存在 $k = j-i$ 使得 $N^k$ 在该位置为1），否则为0。因此 $A^{-1}$ 是元素全为1的上三角矩阵（包括主对角线）。即 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$A^{-1}_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } j \ge i \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
提示：注意主对角线元素也是1，因为 $I$ 贡献了1。
步骤 7/7
目标：验证结果
验证 $A \cdot A^{-1} = I$。例如，$A$ 的第 $i$ 行乘以 $A^{-1}$ 的第 $j$ 列：当 $i=j$ 时，乘积为 $1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 0 = 0$？实际上需要仔细计算：$A$ 的第 $i$ 行只有两个非零元：$A_{ii}=1$，$A_{i,i+1}=-1$（若 $i
提示：验证时注意 $A$ 的最后一行只有 $A_{nn}=1$，所以乘积正确。
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