湖南大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $A$ 为复数域上的 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle A^{2}$ 在复数域上可相似对角化，证明：$A$ 在复数域上可相似对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由已知条件设出对角化形式
已知 $A^2$ 可相似对角化，故存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}A^2P = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ 是对角矩阵，$\lambda_i \in \mathbb{C}$。由于 $A$ 可逆，$A^2$ 也可逆，故 $\lambda_i \neq 0$。
公式：$P^{-1}A^2P = \Lambda$
提示：注意 $A$ 可逆保证 $A^2$ 可逆，从而特征值非零。
步骤 2/5
目标：考虑极小多项式的关系
设 $m_A(x)$ 是 $A$ 的极小多项式，$m_{A^2}(x)$ 是 $A^2$ 的极小多项式。由于 $A^2$ 可对角化，$m_{A^2}(x)$ 无重根。又因为 $m_A(A^2)=0$，所以 $m_{A^2}(x) \mid m_A(x^2)$。
公式：$m_{A^2}(x) \mid m_A(x^2)$
提示：注意 $m_A(A^2)=0$ 是因为 $A^2$ 是 $A$ 的多项式，代入极小多项式得零。
步骤 3/5
目标：推导 $m_A(x)$ 无重根
由于 $m_{A^2}(x)$ 无重根，且整除 $m_A(x^2)$，故 $m_A(x^2)$ 也无重根。若 $m_A(x)$ 有重根 $\mu$，则 $m_A(x^2)$ 有重根 $\pm\sqrt{\mu}$（当 $\mu\neq0$ 时），矛盾。因此 $m_A(x)$ 无重根。
提示：注意 $\mu=0$ 不可能，因为 $A$ 可逆，特征值非零。
步骤 4/5
目标：利用Jordan标准形方法
设 $A$ 的 Jordan 标准形为 $J = \operatorname{diag}(J_1, \ldots, J_s)$，其中 $J_i$ 是 Jordan 块。则 $A^2$ 相似于 $J^2 = \operatorname{diag}(J_1^2, \ldots, J_s^2)$。若某个 $J_i$ 的阶数 $k>1$，则 $J_i^2$ 不是对角矩阵（因为 $J_i$ 不是标量矩阵，且 $\lambda \neq 0$ 时 $J_i^2$ 的 Jordan 标准形是大小为 $k$ 的 Jordan 块），故 $A^2$ 不可对角化，矛盾。因此所有 $J_i$ 的阶数为1，即 $A$ 可对角化。
公式：$J_i = J(\lambda_i, k)$，$J_i^2$ 相似于 $J(\lambda_i^2, k)$
提示：需要验证 $J(\lambda, k)^2$ 的 Jordan 标准形：当 $\lambda \neq 0$ 时，确实是一个 $k$ 阶 Jordan 块。
步骤 5/5
目标：得出结论
由以上两种方法之一可知，$A$ 的极小多项式无重根，或 $A$ 的 Jordan 块均为一阶，因此 $A$ 在复数域上可相似对角化。
提示：注意复数域上可对角化的充要条件是极小多项式无重根。
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