湖南大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上向量，证明：$\displaystyle E_{n}+\alpha \beta^{T}$ 可逆当且仅当 $\displaystyle 1+\alpha^{T} \beta \neq 0$ 并求 $\displaystyle \left(E_{n}+\alpha \beta^{T}\right)$ 的逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定矩阵并分析行列式
设 $A = E_n + \alpha \beta^T$，其中 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^n$。首先计算 $A$ 的行列式。利用矩阵行列式公式：$\det(E_n + \alpha \beta^T) = 1 + \beta^T \alpha = 1 + \alpha^T \beta$，因为 $\beta^T \alpha = \alpha^T \beta$ 是标量。
公式：\det(E_n + \alpha \beta^T) = 1 + \alpha^T \beta
提示：注意 $\beta^T \alpha$ 和 $\alpha^T \beta$ 是相等的标量，不要混淆为矩阵。
步骤 2/7
目标：必要性证明
若 $A$ 可逆，则 $\det(A) \neq 0$，由行列式公式得 $1 + \alpha^T \beta \neq 0$。
提示：可逆矩阵的行列式非零是基本性质。
步骤 3/7
目标：构造逆矩阵候选
若 $1 + \alpha^T \beta \neq 0$，考虑矩阵 $B = E_n - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta}$。
公式：B = E_n - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta}
提示：逆矩阵的构造形式类似于秩一矩阵的Sherman-Morrison公式。
步骤 4/7
目标：验证AB = E_n
计算 $AB$：
$$
AB = (E_n + \alpha \beta^T)\left(E_n - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta}\right) = E_n + \alpha \beta^T - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta} - \frac{\alpha \beta^T \alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta}.
$$
由于 $\beta^T \alpha = \alpha^T \beta$，有 $\alpha \beta^T \alpha \beta^T = \alpha (\beta^T \alpha) \beta^T = (\alpha^T \beta) \alpha \beta^T$。代入得：
$$
AB = E_n + \alpha \beta^T - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta} - \frac{(\alpha^T \beta) \alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta} = E_n + \alpha \beta^T - \frac{(1 + \alpha^T \beta) \alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta} = E_n.
$$
公式：\alpha \beta^T \alpha \beta^T = (\alpha^T \beta) \alpha \beta^T
提示：注意 $\beta^T \alpha$ 是标量，可以提到前面。
步骤 5/7
目标：验证BA = E_n
类似地，计算 $BA$：
$$
BA = \left(E_n - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta}\right)(E_n + \alpha \beta^T) = E_n + \alpha \beta^T - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta} - \frac{\alpha \beta^T \alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta} = E_n.
$$
因此 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵。
提示：由于矩阵乘法不交换，需要验证左右逆相等。
步骤 6/7
目标：充分性结论
由 $AB = BA = E_n$ 知 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = B = E_n - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta}$。
公式：A^{-1} = E_n - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta}
提示：注意分母 $1 + \alpha^T \beta$ 非零是前提。
步骤 7/7
目标：总结
综上，$E_n + \alpha \beta^T$ 可逆当且仅当 $1 + \alpha^T \beta \neq 0$，且此时逆为 $E_n - \frac{\alpha \beta^T}{1 + \alpha^T \beta}$。
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