苏州大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．（20分）设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，且满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，定义子空间
$$
W_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=X\right\} .
$$
证明： $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分解任意向量
对任意 $X \in \mathbb{R}^n$，令 $X_1 = X - AX$，$X_2 = AX$，则 $X = X_1 + X_2$。
提示：注意分解的唯一性尚未证明，这里只是构造一个分解。
步骤 2/6
目标：验证 $X_1 \in W_1$
计算 $A X_1 = A(X - AX) = AX - A^2 X$。由于 $A^2 = A$，得 $AX - AX = 0$，所以 $X_1 \in W_1$。
公式：$A^2 = A$
提示：注意 $A^2 = A$ 是幂等矩阵的性质，必须使用。
步骤 3/6
目标：验证 $X_2 \in W_2$
计算 $A X_2 = A(AX) = A^2 X = AX = X_2$，所以 $X_2 \in W_2$。
公式：$A^2 = A$
提示：注意 $X_2$ 是 $AX$，而 $A(AX) = A^2 X$。
步骤 4/6
目标：证明和空间包含整个空间
由上述两步，任意 $X \in \mathbb{R}^n$ 可表示为 $W_1$ 和 $W_2$ 中元素之和，故 $\mathbb{R}^n \subseteq W_1 + W_2$。显然 $W_1 + W_2 \subseteq \mathbb{R}^n$，因此 $\mathbb{R}^n = W_1 + W_2$。
提示：注意集合包含关系的方向。
步骤 5/6
目标：证明交空间为零
若 $X \in W_1 \cap W_2$，则 $AX = 0$ 且 $AX = X$，从而 $X = 0$。因此 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
提示：注意 $W_1$ 和 $W_2$ 的定义：$W_1$ 是零空间，$W_2$ 是特征值1的特征空间。
步骤 6/6
目标：得出直和结论
由 $\mathbb{R}^n = W_1 + W_2$ 和 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$，根据直和的定义，$\mathbb{R}^n = W_1 \oplus W_2$。
提示：直和需要同时满足和空间与交空间为零两个条件。
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