西南交通大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1、设 $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha)=\alpha-k(\alpha, \varepsilon) \varepsilon, k$ 为常数，$\displaystyle \varepsilon$ 为单位列问量，若 $\displaystyle \Omega$ 是正交变换，求 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解正交变换的定义
正交变换保持内积不变，即对任意向量 $\alpha, \beta$，有 $(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha, \beta)$。
公式：$(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha, \beta)$
提示：注意正交变换的定义是保持内积，而不是保持长度。
步骤 2/7
目标：写出变换的具体形式
已知 $\mathscr{A}(\alpha) = \alpha - k(\alpha, \varepsilon)\varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 是单位列向量，即 $(\varepsilon, \varepsilon)=1$。
公式：$\mathscr{A}(\alpha) = \alpha - k(\alpha, \varepsilon)\varepsilon$
提示：注意 $\varepsilon$ 是单位向量，内积 $(\alpha, \varepsilon)$ 是标量。
步骤 3/7
目标：计算变换后的内积
计算 $(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha - k(\alpha,\varepsilon)\varepsilon, \beta - k(\beta,\varepsilon)\varepsilon)$。利用内积的线性性质展开：
$$(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha,\beta) - k(\alpha,\varepsilon)(\varepsilon,\beta) - k(\beta,\varepsilon)(\alpha,\varepsilon) + k^2(\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon)(\varepsilon,\varepsilon).$$
公式：内积的线性性：$(a+b, c+d) = (a,c)+(a,d)+(b,c)+(b,d)$
提示：展开时注意每一项的系数，不要遗漏交叉项。
步骤 4/7
目标：化简内积表达式
由于 $(\varepsilon,\varepsilon)=1$ 且 $(\varepsilon,\beta) = (\beta,\varepsilon)$，代入得：
$$(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha,\beta) - 2k(\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon) + k^2(\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon) = (\alpha,\beta) + (k^2 - 2k)(\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon).$$
公式：$(\varepsilon,\varepsilon)=1$
提示：注意合并同类项时系数 $-k - k = -2k$。
步骤 5/7
目标：利用正交变换条件建立方程
要使 $\mathscr{A}$ 为正交变换，需对任意 $\alpha,\beta$ 有 $(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha,\beta)$，因此 $(k^2 - 2k)(\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon) = 0$ 对所有 $\alpha,\beta$ 成立。
公式：$(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) - (\alpha,\beta) = (k^2-2k)(\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon)=0$
提示：注意条件是对任意 $\alpha,\beta$ 成立，因此系数必须为零。
步骤 6/7
目标：求解常数k
由于 $\alpha,\beta$ 任意，$(\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon)$ 一般不为零，故 $k^2 - 2k = 0$，即 $k(k-2)=0$，解得 $k=0$ 或 $k=2$。
公式：$k^2 - 2k = 0$
提示：不要遗漏 $k=0$ 的解，虽然平凡但也是正交变换。
步骤 7/7
目标：验证解的合理性
当 $k=0$ 时，$\mathscr{A}\alpha = \alpha$，是恒等变换，显然是正交变换。当 $k=2$ 时，$\mathscr{A}\alpha = \alpha - 2(\alpha,\varepsilon)\varepsilon$，这是关于与 $\varepsilon$ 正交的超平面的反射，也是正交变换。
提示：反射变换是正交变换的典型例子。
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