西南交通大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4、 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1$ ，若 $\displaystyle a, b, c$ 为 $\displaystyle f(x)$ 根，$\displaystyle g(a), g(b), g(c)$ 是 $\displaystyle h(x)$根，求 $\displaystyle h(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用韦达定理
设 $f(x)=x^3+2x^2-2$ 的根为 $a,b,c$，由韦达定理：
\[
\begin{aligned}
a+b+c &= -2, \\
ab+bc+ca &= 0, \\
abc &= 2.
\end{aligned}
\]
公式：韦达定理：对于三次方程 $x^3+px^2+qx+r=0$，根之和为 $-p$，两两积之和为 $q$，积为 $-r$。
提示：注意符号：$f(x)=x^3+2x^2-2$ 中常数项为 $-2$，所以 $abc = -(-2)=2$。
步骤 2/6
目标：建立变量关系
令 $y = g(x) = x^2 + x - 1$，则 $x$ 满足 $x^2 + x - (y+1)=0$。将 $x$ 视为变量，$y$ 为参数。由 $f(x)=0$ 和 $y=g(x)$，消去 $x$ 得到 $h(y)=0$。
提示：注意 $y$ 是 $g(x)$ 的值，不是自由变量。
步骤 3/6
目标：降次代入
由 $x^2 = -x + (y+1)$，代入 $f(x)=x^3+2x^2-2=0$：
先计算 $x^3 = x \cdot x^2 = x(-x+y+1) = -x^2 + x(y+1) = -(-x+y+1) + x(y+1) = x - y -1 + x(y+1) = x(y+2) - y -1$。
则
\[
f(x) = x^3 + 2x^2 - 2 = [x(y+2) - y -1] + 2(-x+y+1) - 2 = x(y+2) - y -1 -2x + 2y + 2 - 2 = x(y+2-2) + (-y-1+2y+2-2) = xy + (y-1) = 0.
\]
提示：代入时注意合并同类项，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：解出 x 关于 y 的表达式
由 $xy + y - 1 = 0$ 得 $x = \frac{1-y}{y}$，其中 $y \neq 0$。
提示：注意 $y=0$ 的情况需要单独验证，但此处 $y=0$ 不满足后续方程。
步骤 5/6
目标：代入原关系式
将 $x = \frac{1-y}{y}$ 代入 $y = x^2 + x - 1$：
\[
y = \left(\frac{1-y}{y}\right)^2 + \frac{1-y}{y} - 1.
\]
两边乘以 $y^2$：
\[
y^3 = (1-y)^2 + y(1-y) - y^2 = (1 - 2y + y^2) + (y - y^2) - y^2 = 1 - 2y + y^2 + y - y^2 - y^2 = 1 - y - y^2.
\]
提示：乘以 $y^2$ 时注意每一项都要乘，且 $y \neq 0$。
步骤 6/6
目标：整理得到 h(y) 方程
移项得 $y^3 + y^2 + y - 1 = 0$。因此 $h(y) = y^3 + y^2 + y - 1$，即 $h(x) = x^3 + x^2 + x - 1$。
提示：最终结果中变量名可换回 $x$，但注意与题目中的 $f(x)$ 区分。
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