陕西师范大学 2023年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）计算 $n$ 阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}+a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & x_{2}+a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{2} & \cdots & x_{n}+a_{n}^{2}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别行列式结构
观察行列式 $D$，其主对角线元素为 $x_i + a_i^2$，非对角线元素为 $a_i a_j$（$i \neq j$）。这可以写成对角矩阵与秩1矩阵之和：$D = \det(\operatorname{diag}(x_1, \dots, x_n) + \mathbf{a} \mathbf{a}^T)$，其中 $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_n)^T$。
提示：注意 $\mathbf{a} \mathbf{a}^T$ 是秩1矩阵，其 $(i,j)$ 元素为 $a_i a_j$。
步骤 2/6
目标：应用矩阵行列式引理
矩阵行列式引理：若 $\mathbf{A}$ 可逆，$\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 为列向量，则 $\det(\mathbf{A} + \mathbf{u} \mathbf{v}^T) = \det(\mathbf{A}) (1 + \mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1} \mathbf{u})$。这里 $\mathbf{A} = \operatorname{diag}(x_1, \dots, x_n)$，$\mathbf{u} = \mathbf{a}$，$\mathbf{v} = \mathbf{a}$。
公式：$\det(\mathbf{A} + \mathbf{u} \mathbf{v}^T) = \det(\mathbf{A}) (1 + \mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1} \mathbf{u})$
提示：引理要求 $\mathbf{A}$ 可逆，即所有 $x_i \neq 0$。若某些 $x_i = 0$，需单独处理。
步骤 3/6
目标：计算对角矩阵的行列式
$\det(\mathbf{A}) = \det(\operatorname{diag}(x_1, \dots, x_n)) = \prod_{i=1}^n x_i$。
公式：$\det(\operatorname{diag}(x_1, \dots, x_n)) = \prod_{i=1}^n x_i$
提示：对角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积。
步骤 4/6
目标：计算 $\mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1} \mathbf{u}$
由于 $\mathbf{A}$ 是对角矩阵，其逆矩阵为 $\mathbf{A}^{-1} = \operatorname{diag}(1/x_1, \dots, 1/x_n)$。则 $\mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1} \mathbf{u} = \mathbf{a}^T \operatorname{diag}(1/x_1, \dots, 1/x_n) \mathbf{a} = \sum_{i=1}^n a_i \cdot \frac{1}{x_i} \cdot a_i = \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{x_i}$。
公式：$\mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1} \mathbf{u} = \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{x_i}$
提示：注意 $\mathbf{A}^{-1}$ 是对角矩阵，计算时直接对应元素相乘。
步骤 5/6
目标：代入引理得到结果
将上述结果代入矩阵行列式引理：$D = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) \left( 1 + \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{x_i} \right)$。
公式：$D = \prod_{i=1}^n x_i \left( 1 + \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{x_i} \right)$
提示：此结果假设所有 $x_i \neq 0$。若某个 $x_i = 0$，则行列式可能为零或需其他方法。
步骤 6/6
目标：讨论特殊情况（可选）
若某个 $x_k = 0$，则原行列式第 $k$ 行和第 $k$ 列元素为 $a_k^2$ 和 $a_k a_j$，可通过行变换或展开处理。例如，当 $x_k = 0$ 且 $a_k \neq 0$ 时，可提取公因子，但一般情形较复杂。通常题目默认 $x_i$ 非零。
提示：注意 $x_i = 0$ 时公式不适用，需单独分析。
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