陕西师范大学 2026年高等代数第10题
📝 题目
10．（20分）设 $n$ 级实矩阵 $A$ 与 $B$ 都可对角化，即存在可逆矩阵 $S$ 与 $T$ ，使得 $\displaystyle S^{-1} A S$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 都是对角矩阵。证明：当 $\displaystyle A B=B A$ 时，存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $A$ 与 $B$ 可同时对角化，即 $\displaystyle C^{-1} A C$ 与 $\displaystyle C^{-1} B C$ 都是对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对角化A并分块
由于$A$可对角化，存在可逆矩阵$S$使得$S^{-1}AS = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_k I_{n_k})$，其中$\lambda_1, \dots, \lambda_k$互异，$n_1+\dots+n_k=n$。
公式：S^{-1}AS = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_k I_{n_k})
提示：注意特征值互异时，对角矩阵的分块形式，每个特征值对应一个单位矩阵的倍数。
步骤 2/5
目标：利用交换性得到B'的分块结构
由$AB=BA$得$S^{-1}AS \cdot S^{-1}BS = S^{-1}BS \cdot S^{-1}AS$，即$\Lambda$与$B' = S^{-1}BS$可交换。由于$\Lambda$是分块对角矩阵且特征值互异，与$\Lambda$可交换的矩阵必为分块对角矩阵，即$B' = \operatorname{diag}(B_1, \dots, B_k)$，其中$B_i$是$n_i$阶方阵。
公式：\Lambda B' = B' \Lambda \Rightarrow B' = \operatorname{diag}(B_1, \dots, B_k)
提示：关键：与互异特征值的对角矩阵可交换的矩阵必为分块对角矩阵。
步骤 3/5
目标：利用B的可对角化性
因为$B$可对角化，所以$B'$也可对角化，从而每个$B_i$可对角化。设存在可逆矩阵$P_i$使得$P_i^{-1}B_iP_i$为对角矩阵。
公式：P_i^{-1}B_iP_i = \text{对角矩阵}
提示：注意：$B'$可对角化意味着每个分块$B_i$可对角化，因为$B'$是分块对角矩阵。
步骤 4/5
目标：构造同时对角化矩阵C
令$C = S \cdot \operatorname{diag}(P_1, \dots, P_k)$，则$C$可逆。计算$C^{-1}AC$：$C^{-1}AC = \operatorname{diag}(P_1^{-1}, \dots, P_k^{-1}) \cdot S^{-1}AS \cdot \operatorname{diag}(P_1, \dots, P_k) = \operatorname{diag}(P_1^{-1}\lambda_1 I_{n_1}P_1, \dots, P_k^{-1}\lambda_k I_{n_k}P_k) = \Lambda$，仍为对角矩阵。
公式：C^{-1}AC = \Lambda
提示：注意$\lambda_i I_{n_i}$与$P_i$可交换，因此$P_i^{-1}\lambda_i I_{n_i}P_i = \lambda_i I_{n_i}$。
步骤 5/5
目标：验证C同时对角化B
计算$C^{-1}BC$：$C^{-1}BC = \operatorname{diag}(P_1^{-1}, \dots, P_k^{-1}) \cdot B' \cdot \operatorname{diag}(P_1, \dots, P_k) = \operatorname{diag}(P_1^{-1}B_1P_1, \dots, P_k^{-1}B_kP_k)$，每个$P_i^{-1}B_iP_i$为对角矩阵，故$C^{-1}BC$为对角矩阵。因此$A$与$B$可同时对角化。
公式：C^{-1}BC = \operatorname{diag}(P_1^{-1}B_1P_1, \dots, P_k^{-1}B_kP_k)
提示：注意$B' = \operatorname{diag}(B_1,\dots,B_k)$，分块对角矩阵的乘法。
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