陕西师范大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 级可逆阵，证明：存在实数域上的 $n$ 级正定阵 $P$ 和 $n$ 级正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ ，并且这一分解式是惟一的．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造对称正定矩阵
由于 $A$ 可逆，考虑 $A^T A$。对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x^T (A^T A) x = \|Ax\|^2 > 0$，故 $A^T A$ 是实对称正定矩阵。
公式：$x^T (A^T A) x = \|Ax\|^2 > 0$
提示：注意 $A^T A$ 的正定性依赖于 $A$ 的可逆性，若 $A$ 不可逆则 $A^T A$ 半正定。
步骤 2/6
目标：对角化 $A^T A$
存在正交矩阵 $Q_1$ 使得 $Q_1^T (A^T A) Q_1 = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，$\lambda_i > 0$。令 $\Sigma = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $A^T A = Q_1 \Lambda Q_1^T = (Q_1 \Sigma Q_1^T)^2$。
公式：$A^T A = Q_1 \Lambda Q_1^T$
提示：注意 $\Sigma$ 的对角元是 $\lambda_i$ 的正平方根，因为 $\lambda_i > 0$。
步骤 3/6
目标：定义正定矩阵 $P$
定义 $P = Q_1 \Sigma Q_1^T$，则 $P$ 是对称正定矩阵（因为 $\Sigma$ 正定且 $Q_1$ 正交），且 $P^2 = A^T A$。
公式：$P = Q_1 \Sigma Q_1^T$
提示：验证 $P$ 的正定性：对任意非零 $x$，$x^T P x = (Q_1^T x)^T \Sigma (Q_1^T x) > 0$。
步骤 4/6
目标：定义正交矩阵 $Q$
令 $Q = P^{-1} A$，则 $Q$ 是正交矩阵，因为 $Q^T Q = A^T (P^{-1})^T P^{-1} A = A^T P^{-2} A = A^T (A^T A)^{-1} A = I_n$。于是 $A = P Q$。
公式：$Q = P^{-1} A$，$Q^T Q = I_n$
提示：注意 $P^{-2} = (P^2)^{-1} = (A^T A)^{-1}$，且 $A^T (A^T A)^{-1} A$ 是投影矩阵，需验证等于 $I$。
步骤 5/6
目标：证明分解的唯一性
假设 $A = P_1 Q_1 = P_2 Q_2$，其中 $P_1, P_2$ 正定，$Q_1, Q_2$ 正交。则 $A A^T = P_1 Q_1 Q_1^T P_1^T = P_1^2$，同理 $A A^T = P_2^2$，故 $P_1^2 = P_2^2$。由于正定矩阵的平方根唯一，得 $P_1 = P_2$。进而 $Q_1 = P_1^{-1} A = P_2^{-1} A = Q_2$。
公式：$P_1^2 = A A^T = P_2^2$
提示：正定矩阵的平方根唯一性：若 $P$ 正定，则存在唯一的正定平方根，可通过谱分解证明。
步骤 6/6
目标：结论
因此，存在唯一的正定矩阵 $P$ 和正交矩阵 $Q$ 使得 $A = P Q$。
提示：该分解称为极分解，类似于复数的极坐标表示。
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