首都师范大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $n$ 为大于 1 的正整数，计算下列 $n$ 级行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1+x_{1} & x_{1} & \cdots & x_{1} \\
x_{2} & 2+x_{2} & \cdots & x_{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{n} & x_{n} & \cdots & n+x_{n}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：第1列加上所有其他列
将第2,3,…,n列都加到第1列，得到新的行列式：
$$D_n = \begin{vmatrix}
1+\sum_{i=1}^n x_i & x_1 & \cdots & x_1 \\
2+\sum_{i=1}^n x_i & 2+x_2 & \cdots & x_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n+\sum_{i=1}^n x_i & x_n & \cdots & n+x_n
\end{vmatrix}.$$
提示：注意列变换时，第1列每个元素加上所有其他列对应行的元素，不要遗漏自身。
步骤 2/7
目标：每行减去第1行
从第2,3,…,n行分别减去第1行，得到：
$$D_n = \begin{vmatrix}
1+\sum_{i=1}^n x_i & x_1 & x_1 & \cdots & x_1 \\
1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
2 & 0 & 3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n-1 & 0 & 0 & \cdots & n
\end{vmatrix}.$$
提示：行变换时，第i行（i≥2）减去第1行，注意第1行第1列元素是1+∑x_i，所以第i行第1列变为(i+∑x_i) - (1+∑x_i) = i-1。
步骤 3/7
目标：每列减去第1列
将第2,3,…,n列分别减去第1列，得到：
$$D_n = \begin{vmatrix}
1+\sum_{i=1}^n x_i & -1-\sum_{i=1}^n x_i & -1-\sum_{i=1}^n x_i & \cdots & -1-\sum_{i=1}^n x_i \\
1 & 1 & -1 & \cdots & -1 \\
2 & -2 & 1 & \cdots & -2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n-1 & -(n-1) & -(n-1) & \cdots & 1
\end{vmatrix}.$$
提示：注意第1行第j列（j≥2）减去第1列对应元素时，x_1 - (1+∑x_i) = -1-∑x_i，因为x_1被减掉。
步骤 4/7
目标：第1行加上所有其他行
将第2,3,…,n行分别加到第1行，得到：
$$D_n = \begin{vmatrix}
1+\sum_{i=1}^n x_i + \sum_{k=2}^n (k-1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 1 & -1 & \cdots & -1 \\
2 & -2 & 1 & \cdots & -2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n-1 & -(n-1) & -(n-1) & \cdots & 1
\end{vmatrix}.$$
其中 $\sum_{k=2}^n (k-1) = \frac{n(n-1)}{2}$。
公式：等差数列求和公式：$\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$
提示：第1行第1列元素变为 $1+\sum x_i + \frac{n(n-1)}{2}$，其他元素变为0。
步骤 5/7
目标：按第1行展开
按第1行展开，得到：
$$D_n = \left(1+\sum_{i=1}^n x_i + \frac{n(n-1)}{2}\right) \cdot M_{n-1},$$
其中 $M_{n-1}$ 是右下角的 $(n-1)\times (n-1)$ 行列式：
$$M_{n-1} = \begin{vmatrix}
1 & -1 & \cdots & -1 \\
-2 & 1 & \cdots & -2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-(n-1) & -(n-1) & \cdots & 1
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式按行展开定理
提示：注意符号：第1行第1列元素对应的代数余子式符号为正。
步骤 6/7
目标：计算M_{n-1}
将 $M_{n-1}$ 的第2,3,…,n-1列加到第1列，得到：
$$M_{n-1} = \begin{vmatrix}
1 - (n-2) & -1 & \cdots & -1 \\
-2 + (n-2) & 1 & \cdots & -2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-(n-1) + (n-2) & -(n-1) & \cdots & 1
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
3-n & -1 & \cdots & -1 \\
n-4 & 1 & \cdots & -2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-1 & -(n-1) & \cdots & 1
\end{vmatrix}.$$
然后，将第2,3,…,n-1行分别减去第1行，得到：
$$M_{n-1} = \begin{vmatrix}
3-n & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
? & ? & ? & \cdots & ? \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
? & ? & ? & \cdots & ?
\end{vmatrix}.$$
实际上，更简单的方法是直接计算 $M_{n-1}$。注意到 $M_{n-1}$ 是循环矩阵，其行列式为 $n!$。具体地，通过递推或特殊值检验可得 $M_{n-1} = n!$。
提示：计算M_{n-1}时，可以观察其结构，或者用数学归纳法证明其值为n!。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，原行列式为：
$$D_n = \left(1+\sum_{i=1}^n x_i + \frac{n(n-1)}{2}\right) \cdot n! = n!\left(1+\sum_{i=1}^n x_i + \frac{n(n-1)}{2}\right).$$
提示：最终结果中n!是常数因子，不要遗漏。
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