首都师范大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．取实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 3 级矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$
（1）求正交矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C$ 为对角矩阵，其中 $\displaystyle C^{\prime}$ 表示 $C$ 的转置．
（2）求正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求特征值
计算特征多项式 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-3 & 1 & -1 \\ 1 & \lambda-3 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-3 \end{vmatrix}$。将第2、3列加到第1列，得 $\begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 & -1 \\ \lambda-1 & \lambda-3 & -1 \\ \lambda-1 & -1 & \lambda-3 \end{vmatrix}$，提取公因子 $\lambda-1$，然后化简得 $(\lambda-2)^2(\lambda-5)=0$，故特征值为 $\lambda_1=2$（二重），$\lambda_2=5$。
公式：$|\lambda I - A| = (\lambda-2)^2(\lambda-5)$
提示：计算行列式时注意行列变换技巧，避免直接展开导致复杂计算。
步骤 2/7
目标：求特征向量（二重特征值）
对于 $\lambda=2$，解 $(2I-A)x=0$：系数矩阵 $\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$，行变换得 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，基础解系为 $\alpha_1=(1,1,0)^\mathrm{T}$，$\alpha_2=(1,0,-1)^\mathrm{T}$。
提示：注意解齐次方程组时，自由变量的选取要保证解向量线性无关。
步骤 3/7
目标：正交化特征向量（二重特征值）
使用施密特正交化：$\beta_1=\alpha_1=(1,1,0)^\mathrm{T}$，$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=(1,0,-1)^\mathrm{T}-\frac{1}{2}(1,1,0)^\mathrm{T}=(\frac12,-\frac12,-1)^\mathrm{T}$。
公式：$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$
提示：正交化时注意内积计算，分母是 $\beta_1$ 的模长平方。
步骤 4/7
目标：单位化特征向量
单位化：$\gamma_1=\frac{\beta_1}{\|\beta_1\|}=(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0)^\mathrm{T}$，$\gamma_2=\frac{\beta_2}{\|\beta_2\|}=\frac{(\frac12,-\frac12,-1)}{\sqrt{\frac14+\frac14+1}}=(\frac1{\sqrt6},-\frac1{\sqrt6},-\frac2{\sqrt6})^\mathrm{T}$。
公式：$\gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$
提示：单位化时注意模长计算，不要遗漏分母。
步骤 5/7
目标：求特征向量（单特征值）
对于 $\lambda=5$，解 $(5I-A)x=0$：系数矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$，行变换得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，基础解系 $\alpha_3=(-1,1,1)^\mathrm{T}$，单位化得 $\gamma_3=(-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3})^\mathrm{T}$。
提示：单特征值对应的特征向量直接单位化即可。
步骤 6/7
目标：构造正交矩阵并验证
取 $C=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt6} & -\frac1{\sqrt3} \\ \frac1{\sqrt2} & -\frac1{\sqrt6} & \frac1{\sqrt3} \\ 0 & -\frac2{\sqrt6} & \frac1{\sqrt3} \end{pmatrix}$，则 $C^\mathrm{T}AC=\operatorname{diag}(2,2,5)$。
公式：$C^\mathrm{T}AC = \Lambda$
提示：验证 $C$ 是否正交：$C^\mathrm{T}C=I$。
步骤 7/7
目标：求正定矩阵B
由于 $A$ 正定，存在正交矩阵 $C$ 使 $A=C\Lambda C^\mathrm{T}$，其中 $\Lambda=\operatorname{diag}(2,2,5)$。令 $\Sigma=\operatorname{diag}(\sqrt2,\sqrt2,\sqrt5)$，则 $B=C\Sigma C^\mathrm{T}$ 满足 $B^2=A$。计算 $B$：$B=C\Sigma C^\mathrm{T}=\begin{pmatrix} \frac{5+\sqrt2}{3} & \frac{-1+\sqrt2}{3} & \frac{1-\sqrt2}{3} \\ \frac{-1+\sqrt2}{3} & \frac{5+\sqrt2}{3} & \frac{1-\sqrt2}{3} \\ \frac{1-\sqrt2}{3} & \frac{1-\sqrt2}{3} & \frac{5+2\sqrt2}{3} \end{pmatrix}$。
公式：$B = C \Sigma C^\mathrm{T}$
提示：注意矩阵乘法顺序，$C$ 是正交矩阵，$C^\mathrm{T}=C^{-1}$。
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