上海交通大学 2026年数学分析第1题

分母为 $\ln(1-x)+\ln(1+x) = \ln[(1-x)(1+x)] = \ln(1-x^2)$。当 $x \to 0$ 时，$\ln(1-x^2) \sim -x^2$。

分子为 $1+\cos x - \cos x \cos(2x) - \sqrt[3]{\cos x}$。先处理 $\cos x \cos(2x)$，利用 $\cos(2x)=2\cos^2 x -1$，得 $\cos x \cos(2x) = \cos x (2\cos^2 x -1) = 2\cos^3 x - \cos x$。

代入得分子 $= 1+\cos x - (2\cos^3 x - \cos x) - \sqrt[3]{\cos x} = 1+\cos x -2\cos^3 x + \cos x - \sqrt[3]{\cos x} = 1 + 2\cos x - 2\cos^3 x - \sqrt[3]{\cos x}$。

令 $t = \cos x$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 1$。分子变为 $1 + 2t - 2t^3 - t^{1/3}$。分母为 $-x^2$，但 $x$ 与 $t$ 的关系：$x^2 \sim 2(1-t)$ 当 $x \to 0$（因为 $\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}$）。所以分母 $\sim -2(1-t)$。

令 $u = 1-t$，则 $t = 1-u$，$u \to 0$。分子 $f(t)=1+2t-2t^3-t^{1/3}$。计算 $f(1)=1+2-2-1=0$。求导：$f'(t)=2-6t^2-\frac{1}{3}t^{-2/3}$，$f'(1)=2-6-\frac{1}{3}=-\frac{13}{3}$。所以 $f(t) \approx f'(1)(t-1) = -\frac{13}{3}(-u) = \frac{13}{3}u$。但注意这是线性近似，实际上需要更高阶？因为分母是 $u$ 的一次，所以只需一次。

实际上，分子 $1+2t-2t^3-t^{1/3}$ 在 $t=1$ 处展开，$t=1-u$，则 $t^3 = (1-u)^3 = 1-3u+3u^2-u^3$，$t^{1/3} = (1-u)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}u - \frac{1}{9}u^2 + \cdots$。代入得：$1+2(1-u)-2(1-3u+3u^2-u^3) - (1 - \frac{1}{3}u - \frac{1}{9}u^2 + \cdots) = 1+2-2u -2+6u-6u^2+2u^3 -1 + \frac{1}{3}u + \frac{1}{9}u^2 + \cdots = (1+2-2-1) + (-2+6+\frac{1}{3})u + (-6+\frac{1}{9})u^2 + \cdots = 0 + \frac{13}{3}u - \frac{53}{9}u^2 + \cdots$。所以分子 $\sim \frac{13}{3}u$。

分母 $\sim -2(1-t) = -2u$。所以原极限 $\lim_{x\to 0} \frac{\frac{13}{3}u}{-2u} = -\frac{13}{6}$。但答案给出的是 $\frac{1}{6}$，说明有误。重新检查：实际上分母 $\ln(1-x^2) \sim -x^2$，而 $x^2 \sim 2(1-t)$，所以分母 $\sim -2(1-t) = -2u$。分子 $\sim \frac{13}{3}u$，比值为 $-\frac{13}{6}$。但答案却是 $\frac{1}{6}$，说明分子展开有误。

原分子 $1+\cos x - \cos x \cos(2x) - \sqrt[3]{\cos x}$。利用 $\cos(2x)=1-2\sin^2 x$ 或 $2\cos^2 x-1$，但可能更简单：$\cos x \cos(2x) = \frac{1}{2}[\cos(3x)+\cos x]$。则分子 $=1+\cos x - \frac{1}{2}\cos(3x) - \frac{1}{2}\cos x - \sqrt[3]{\cos x} = 1 + \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{2}\cos(3x) - \sqrt[3]{\cos x}$。然后对每个余弦在 $x=0$ 处展开：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots$，$\cos(3x)=1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} + \cdots$，$\sqrt[3]{\cos x} = (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots)^{1/3} = 1 - \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{72} + \cdots$。代入分子：$1 + \frac{1}{2}(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) - \frac{1}{2}(1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24}) - (1 - \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{72}) + \cdots = 1 + \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{48} - \frac{1}{2} + \frac{9x^2}{4} - \frac{81x^4}{48} -1 + \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{72} + \cdots = (1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1) + (-\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{1}{6})x^2 + (\frac{1}{48}-\frac{81}{48}+\frac{1}{72})x^4 + \cdots = 0 + (\frac{8}{4}+\frac{1}{6})x^2 = (2+\frac{1}{6})x^2 = \frac{13}{6}x^2$，更高阶项忽略。所以分子 $\sim \frac{13}{6}x^2$。分母 $\ln(1-x^2) \sim -x^2$。因此极限 $= \frac{13/6}{-1} = -\frac{13}{6}$。但答案给出 $\frac{1}{6}$，说明仍有误。

根据常见极限，可能分子有另一种化简。实际上，$1+\cos x - \cos x \cos(2x) - \sqrt[3]{\cos x} = (1-\sqrt[3]{\cos x}) + \cos x(1-\cos(2x))$。而 $1-\sqrt[3]{\cos x} \sim \frac{1}{3}(1-\cos x) \sim \frac{1}{3}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{6}$，$\cos x(1-\cos(2x)) \sim 1\cdot \frac{(2x)^2}{2} = 2x^2$，所以分子 $\sim \frac{x^2}{6}+2x^2 = \frac{13}{6}x^2$，与之前一致。分母 $\ln(1-x^2) \sim -x^2$，极限为 $-\frac{13}{6}$。但答案却是 $\frac{1}{6}$，可能题目或答案有误。然而，作为解题，我们按正确推导给出步骤。