上海交通大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上具有二阶连续偏导数，并且满足
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
若 $\displaystyle u(x, 2 x)=x, u_{x}^{\prime}(x, 2 x)=x^{2}$ ，求 $\displaystyle u_{x x}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{x y}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{y y}^{\prime \prime}(x, 2 x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用已知条件求一阶偏导数
已知 $u(x,2x)=x$，对 $x$ 求全导数：$\frac{d}{dx}u(x,2x)=u_x+2u_y=1$。代入 $u_x(x,2x)=x^2$，得 $x^2+2u_y=1$，解得 $u_y(x,2x)=\frac{1-x^2}{2}$。
公式：$\frac{d}{dx}u(x,2x)=u_x+2u_y$
提示：注意全导数与偏导数的区别，$y=2x$ 是 $x$ 的函数。
步骤 2/6
目标：对 $u_x$ 求全导数得到二阶偏导关系
对 $u_x(x,2x)=x^2$ 两边对 $x$ 求全导数：$\frac{d}{dx}u_x(x,2x)=u_{xx}+2u_{xy}=2x$。
公式：$\frac{d}{dx}u_x=u_{xx}+2u_{xy}$
提示：注意 $u_x$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，$y=2x$。
步骤 3/6
目标：对 $u_y$ 求全导数得到另一个二阶偏导关系
对 $u_y(x,2x)=\frac{1-x^2}{2}$ 两边对 $x$ 求全导数：$\frac{d}{dx}u_y(x,2x)=u_{xy}+2u_{yy}=-x$。
公式：$\frac{d}{dx}u_y=u_{xy}+2u_{yy}$
提示：注意右侧是 $-x$，不要遗漏负号。
步骤 4/6
目标：利用波动方程简化方程组
由波动方程 $u_{xx}-u_{yy}=0$ 得 $u_{yy}=u_{xx}$。代入上一步的方程：$u_{xy}+2u_{xx}=-x$。与第二步的方程 $u_{xx}+2u_{xy}=2x$ 联立。
公式：$u_{xx}=u_{yy}$
提示：波动方程是 $u_{xx}=u_{yy}$，注意符号。
步骤 5/6
目标：解方程组求 $u_{xx}$ 和 $u_{xy}$
方程组：
\begin{cases}
u_{xx}+2u_{xy}=2x \\
u_{xy}+2u_{xx}=-x
\end{cases}
将第二式乘以2得 $2u_{xy}+4u_{xx}=-2x$，减去第一式得 $(2u_{xy}+4u_{xx})-(u_{xx}+2u_{xy})=-2x-2x$，即 $3u_{xx}=-4x$，所以 $u_{xx}=-\frac{4}{3}x$。代入第一式得 $-\frac{4}{3}x+2u_{xy}=2x$，解得 $u_{xy}=\frac{5}{3}x$。
公式：消元法解线性方程组
提示：注意相减时符号，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：利用波动方程求 $u_{yy}$
由 $u_{yy}=u_{xx}$，得 $u_{yy}(x,2x)=-\frac{4}{3}x$。
公式：$u_{yy}=u_{xx}$
提示：直接代入即可。
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