上海交通大学 2026年数学分析第3题

积分区域 $\Omega$ 是单位球体，被积函数在原点 $r=0$ 处可能奇异，因为分母 $(x^2+y^2+z^2)^p = r^{2p}$ 和分子 $\ln\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \ln r$ 在 $r\to 0$ 时分别趋于无穷大和负无穷。因此需要判断广义积分收敛的条件。

采用球坐标变换： $$x = r\sin\theta\cos\phi,\quad y = r\sin\theta\sin\phi,\quad z = r\cos\theta,$$ 其中 $0\le r\le 1$, $0\le\theta\le\pi$, $0\le\phi\le 2\pi$。体积元为 $\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$。代入被积函数得： $$\frac{f(x,y,z)\ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{(x^2+y^2+z^2)^p} = \frac{f(r,\theta,\phi)\ln r}{r^{2p}}.$$

积分化为： $$I = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\int_0^1 \frac{f(r,\theta,\phi)\ln r}{r^{2p}}\, r^2\,\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\int_0^1 f(r,\theta,\phi)\, r^{2-2p}\ln r\,\mathrm{d}r.$$

由题意，$f$ 在 $\Omega$ 上黎曼可积，故有界；且 $|f|$ 在原点附近有正下界，即存在 $\delta>0$ 和常数 $c>0$，使得当 $r<\delta$ 时 $|f|\ge c$。因此，$r$ 积分部分的绝对收敛性等价于积分 $\int_0^1 r^{2-2p}|\ln r|\,\mathrm{d}r$ 的收敛性。

考虑积分 $\int_0^1 r^{\alpha}|\ln r|\,\mathrm{d}r$，其中 $\alpha = 2-2p$。当 $\alpha > -1$ 时，由于 $r^{\alpha}|\ln r|$ 在 $r=0$ 附近可积（例如，对任意 $\varepsilon>0$，$r^{\alpha}|\ln r| \le C r^{\alpha-\varepsilon}$，取 $\varepsilon$ 使 $\alpha-\varepsilon > -1$ 即可）；当 $\alpha \le -1$ 时，$r^{\alpha}|\ln r| \ge r^{-1}|\ln r|$，而 $\int_0^1 r^{-1}|\ln r|\,\mathrm{d}r$ 发散（因为 $\int_0^1 \frac{|\ln r|}{r}\,\mathrm{d}r = \int_0^\infty u e^{-u}\,\mathrm{d}u$ 发散？实际上 $\int_0^1 \frac{|\ln r|}{r}\,\mathrm{d}r = \int_0^\infty u e^{-u}\,\mathrm{d}u = 1$，但注意 $\int_0^1 r^{-1}|\ln r|\,\mathrm{d}r$ 是收敛的？需要重新检查：令 $t=-\ln r$，则 $r=e^{-t}$，$\mathrm{d}r=-e^{-t}\mathrm{d}t$，$\int_0^1 r^{-1}|\ln r|\,\mathrm{d}r = \int_\infty^0 e^{t} t (-e^{-t})\mathrm{d}t = \int_0^\infty t\,\mathrm{d}t$ 发散。正确。因此 $\alpha \le -1$ 时发散。

由收敛条件 $\alpha = 2-2p > -1$，解得 $p < \frac{3}{2}$。另外，在 $r=1$ 处，$\ln r=0$，无奇点。因此，广义积分收敛当且仅当 $p < \frac{3}{2}$。