上海交通大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，且 $\displaystyle 0<f(x)<x, x \in(0, a)$ ，任取 $\displaystyle x_{1} \in(0, a)$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 都收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明数列 {x_n} 单调递减且有下界
由条件 $00$。假设 $00$。由数学归纳法，得 $0
公式：x_{n+1}=f(x_n), 0
提示：注意归纳假设中需保证 $x_n$ 仍在 $(0,a)$ 内，由 $f(x)0$ 保证正性。
步骤 2/5
目标：证明数列 {x_n} 收敛于 0
由单调有界定理，$\{x_n\}$ 收敛，设极限为 $L$，则 $L\geq 0$。在递推式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 两边取极限，利用 $f$ 的连续性得 $L=f(L)$。又由 $00$ 成立，若 $L>0$，则 $f(L)
公式：L=f(L), 0
提示：注意 $f$ 连续是取极限的前提；由 $f(0)=0$ 也可直接得到 $L=0$，但需说明 $f(0)=0$ 可由 $0
步骤 3/5
目标：对 f(x) 在 x=0 处泰勒展开
由于 $f$ 有二阶连续导数，且 $f(0)=0$（由 $0
公式：f(x)=x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)
提示：注意余项是 $o(x^2)$，且 $f(0)=0$ 需由条件推导，不能直接假设。
步骤 4/5
目标：计算 1/x_{n+1} - 1/x_n 的极限
由 $x_{n+1}=f(x_n)$，代入泰勒展开：$$\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{f(x_n)}=\frac{1}{x_n+\frac{f''(0)}{2}x_n^2+o(x_n^2)}=\frac{1}{x_n}\cdot\frac{1}{1+\frac{f''(0)}{2}x_n+o(x_n)}.$$利用 $\frac{1}{1+u}=1-u+o(u)$，得$$\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_n}\left(1-\frac{f''(0)}{2}x_n+o(x_n)\right)=\frac{1}{x_n}-\frac{f''(0)}{2}+o(1).$$因此$$\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}=-\frac{f''(0)}{2}+o(1).$$令 $n\to\infty$，$x_n\to 0$，故 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}\right)=-\frac{f''(0)}{2}.$$
公式：\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}=-\frac{f''(0)}{2}+o(1)
提示：注意 $o(x_n)$ 和 $o(1)$ 的处理，需确保 $x_n\to 0$ 时 $o(x_n)/x_n\to 0$。
步骤 5/5
目标：应用 Stolz 定理求 n x_n 的极限
考虑 $\lim_{n\to\infty}\frac{1/x_n}{n}$。由于 $x_n\to 0$，$1/x_n\to\infty$，满足 Stolz 定理条件。由 Stolz 定理：$$\lim_{n\to\infty}\frac{1/x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/x_{n+1}-1/x_n}{(n+1)-n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}\right)=-\frac{f''(0)}{2}.$$因此 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n x_n}=-\frac{f''(0)}{2}$，即 $\lim_{n\to\infty} n x_n = -\frac{2}{f''(0)}$。注意由 $0
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{1/x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}\right)
提示：Stolz 定理要求分母严格单调趋于无穷，这里分母 $n$ 满足；分子 $1/x_n$ 趋于无穷，需验证单调性，但定理条件只需分母趋于无穷即可。另外需注意 $f''(0)\neq 0$ 保证极限非零。
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