上海交通大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有定义，并且满足：$\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \exists \delta_{x}>0$ ，当 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right)$ 且 $\displaystyle x_{1}<x<x_{2}$时，必有 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)>f(x)>f\left(x_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上是严格单调减少函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：反证法假设
假设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不是严格单调减少的，则存在 $a
提示：注意反证法假设的否定形式：不是严格单调减少意味着存在两点使得函数值不满足严格递减。
步骤 2/7
目标：分情况讨论
分两种情况：$f(a)=f(b)$ 和 $f(a)
提示：不要遗漏等号情况。
步骤 3/7
目标：情况1：相等情形处理
若 $f(a)=f(b)$，取 $x=a$，由条件存在 $\delta_a>0$，当 $x_1,x_2\in(a-\delta_a,a+\delta_a)$ 且 $x_1f(a)>f(x_2)$。取 $x_2=\min\{b,a+\delta_a/2\}$，则 $x_2>a$ 且 $x_2\in(a-\delta_a,a+\delta_a)$，于是 $f(a)>f(x_2)$。
提示：注意 $x_2$ 的选取要保证在邻域内且不超过 $b$。
步骤 4/7
目标：情况1：迭代导出矛盾
若 $x_2=b$，则 $f(a)>f(b)$，与 $f(a)=f(b)$ 矛盾。若 $x_20$，取 $x_2'=\min\{b,x_2+\delta_{x_2}/2\}$，则 $f(x_2)>f(x_2')$。重复此过程，得到严格递增序列 $af(b)$，矛盾。
提示：迭代过程需保证每次取的点严格递增且不超过 $b$，最终得到矛盾。
步骤 5/7
目标：情况2：小于情形处理
若 $f(a)c$，有 $f(x)>f(a)$。特别地，$f(c)\leq f(a)$。
提示：上确界的定义要准确理解，注意 $c$ 可能等于 $a$。
步骤 6/7
目标：情况2：应用条件导出矛盾
取 $x=c$，存在 $\delta_c>0$，当 $x_1,x_2\in(c-\delta_c,c+\delta_c)$ 且 $x_1f(c)>f(x_2)$。取 $x_2=\min\{b,c+\delta_c/2\}$，则 $x_2>c$ 且 $x_2\in(c-\delta_c,c+\delta_c)$，于是 $f(c)>f(x_2)$。但 $f(x_2)>f(a)$（因为 $x_2>c$），故 $f(c)>f(x_2)>f(a)$，与 $f(c)\leq f(a)$ 矛盾。
提示：注意 $x_2$ 的选取要保证在邻域内且大于 $c$，同时利用 $x_2>c$ 得到 $f(x_2)>f(a)$。
步骤 7/7
目标：结论
两种情况均导致矛盾，故假设不成立，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调减少函数。
提示：反证法结论要明确。
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