上海交通大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有界的连续函数，若存在正常数 $a$ ，使得
$$
f(x)+a \int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t
$$
为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设常值函数并求导
设 $g(x)=f(x)+a\int_{x-1}^x f(t)\,dt$ 为常值函数，即存在常数 $C$ 使得 $g(x)\equiv C$。对 $g(x)$ 求导得 $g'(x)=f'(x)+a(f(x)-f(x-1))=0$，因此 $f'(x)=a(f(x-1)-f(x))$。
公式：f'(x)=a(f(x-1)-f(x))
提示：注意积分上限和下限的导数：$\frac{d}{dx}\int_{x-1}^x f(t)dt = f(x)-f(x-1)$。
步骤 2/6
目标：构造函数 h(x) 并化简
令 $h(x)=f(x)e^{ax}$，则 $h'(x)=f'(x)e^{ax}+af(x)e^{ax}=e^{ax}(f'(x)+af(x))$。代入 $f'(x)=a(f(x-1)-f(x))$ 得 $f'(x)+af(x)=af(x-1)$，所以 $h'(x)=ae^{ax}f(x-1)$。又 $f(x-1)=h(x-1)e^{-a(x-1)}$，代入得 $h'(x)=ae^{ax}h(x-1)e^{-a(x-1)}=ae^{a}h(x-1)$。
公式：h'(x)=ae^{a}h(x-1)
提示：注意指数函数的变换，确保代数运算正确。
步骤 3/6
目标：利用有界性推导矛盾
由于 $f$ 有界，$|f(x)|\leq M$，则 $|h(x)|=|f(x)e^{ax}|\leq Me^{ax}$。当 $x\to -\infty$ 时，$e^{ax}\to 0$，故 $h(x)\to 0$。但由 $h'(x)=ae^{a}h(x-1)$ 可推出 $h$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上满足某种递推关系，若 $h$ 非常数则会导致无界，与有界性矛盾。然而此方法较复杂，改用下法。
提示：注意有界性在无穷远处的应用。
步骤 4/6
目标：利用积分中值定理
由 $g(x)=C$ 得 $f(x)=C-a\int_{x-1}^x f(t)dt$。由积分中值定理，存在 $\xi_x\in[x-1,x]$ 使得 $\int_{x-1}^x f(t)dt = f(\xi_x)$，故 $f(x)=C-af(\xi_x)$。
公式：f(x)=C-af(\xi_x)
提示：注意中值点依赖于 x。
步骤 5/6
目标：证明 f 的上确界和下确界相等
设 $M=\sup f$，$m=\inf f$。取点列 $x_n$ 使 $f(x_n)\to M$，则 $C = f(x_n)+a\int_{x_n-1}^{x_n} f(t)dt \leq f(x_n)+aM$，令 $n\to\infty$ 得 $C\leq M(1+a)$，故 $M\geq C/(1+a)$。同理，取点列 $y_n$ 使 $f(y_n)\to m$，得 $C\geq m(1+a)$，故 $m\leq C/(1+a)$。因此 $m\leq C/(1+a)\leq M$。
公式：C/(1+a) 介于 m 和 M 之间
提示：注意不等式方向：由 $f(x_n)\to M$ 且积分不超过 $M$ 得到上界。
步骤 6/6
目标：反证法证明 f 恒等于常数
假设存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)>C/(1+a)$，则 $f(x_0)+a\int_{x_0-1}^{x_0} f(t)dt > C/(1+a) + a\cdot C/(1+a) = C$，与 $g(x_0)=C$ 矛盾。同理，若 $f(x_0)
公式：f(x)=C/(1+a)
提示：注意利用积分中值定理时，$\int_{x-1}^x f(t)dt$ 介于 $m$ 和 $M$ 之间，但这里直接用了 $C/(1+a)$ 作为下界。
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