上海理工大学 2024年数学分析第10题

设曲面方程为 $F(x,y,z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{a}=0$，其中 $x>0,y>0,z>0$。曲面上任一点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 满足 $\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}=\sqrt{a}$。求偏导数：$F_x = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，$F_y = \frac{1}{2\sqrt{y}}$，$F_z = \frac{1}{2\sqrt{z}}$。

在点 $P$ 处的切平面方程为：$\frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x-x_0)+\frac{1}{2\sqrt{y_0}}(y-y_0)+\frac{1}{2\sqrt{z_0}}(z-z_0)=0$。两边乘以2并整理得：$\frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}$。

由曲面方程 $\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}=\sqrt{a}$，代入切平面方程得：$\frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a}$。

将切平面方程化为截距式：$\frac{x}{\sqrt{a}\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{a}\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{a}\sqrt{z_0}}=1$。因此，切平面在 $x,y,z$ 轴上的截距分别为：$X = \sqrt{a}\sqrt{x_0}$，$Y = \sqrt{a}\sqrt{y_0}$，$Z = \sqrt{a}\sqrt{z_0}$。

截得的线段长度之和为 $X+Y+Z = \sqrt{a}(\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = a$。因此，切平面与各轴所截的线段长度之和为常数 $a$。