上海理工大学 2024年数学分析第14题
📝 题目
14．求 $\displaystyle \iint_{L} y(x-z) d y d z+x^{2} d x d z+x(z-y) d x d y$ ，且 $\displaystyle L: 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a, 0 \leq x \leq a$所围成的曲线．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别积分类型与曲面
题目中的积分符号为曲线积分符号，但实际为第二类曲面积分。曲面 $L$ 是立方体表面：$0 \leq x \leq a$, $0 \leq y \leq a$, $0 \leq z \leq a$。积分表达式为：
$$\iint_{S} y(x-z) \, dy \, dz + x^{2} \, dx \, dz + x(z-y) \, dx \, dy$$
提示：注意区分曲线积分与曲面积分符号，此处应为曲面积分。
步骤 2/6
目标：将积分化为标准形式以应用高斯公式
第二类曲面积分的标准形式为 $\iint P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy$。原积分第二项为 $x^2 \, dx \, dz$，而 $dx \, dz = - dz \, dx$，因此可改写为：
$$\iint_{S} y(x-z) \, dy \, dz + (-x^2) \, dz \, dx + x(z-y) \, dx \, dy$$
从而得到向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R) = (y(x-z), -x^2, x(z-y))$。
公式：$dx \, dz = - dz \, dx$
提示：注意面积元的方向：$dx \, dz$ 与 $dz \, dx$ 相差一个负号，需根据定向调整。
步骤 3/6
目标：应用高斯散度定理
高斯散度定理将封闭曲面外侧的曲面积分转化为三重积分：
$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
其中 $V$ 是立方体内部区域。计算散度：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x}[y(x-z)] + \frac{\partial}{\partial y}(-x^2) + \frac{\partial}{\partial z}[x(z-y)] = y + 0 + x = x + y$$
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
提示：散度计算时注意偏导数的变量，$P$ 对 $x$ 求导时 $y$ 和 $z$ 视为常数。
步骤 4/6
目标：建立三重积分表达式
原曲面积分等于三重积分：
$$\iiint_{V} (x+y) \, dV$$
其中积分区域 $V$ 为立方体：$0 \leq x \leq a$, $0 \leq y \leq a$, $0 \leq z \leq a$。
提示：三重积分区域为长方体，积分次序可任意选择。
步骤 5/6
目标：计算三重积分
先对 $x$ 积分：
$$\int_0^a (x+y) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_0^a = \frac{a^2}{2} + a y$$
再对 $y$ 积分：
$$\int_0^a \left( \frac{a^2}{2} + a y \right) dy = \left[ \frac{a^2}{2} y + \frac{a y^2}{2} \right]_0^a = \frac{a^3}{2} + \frac{a^3}{2} = a^3$$
最后对 $z$ 积分：
$$\int_0^a a^3 \, dz = a^4$$
提示：积分时注意常数项的处理，逐次积分即可。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原曲面积分的值为 $a^4$。
提示：最终结果应包含 $a^4$，注意 $a$ 为常数。
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