上海理工大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．$\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2} x^{2}} d x$ 证明 $\displaystyle I(\alpha)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0, \mathrm{~b}]$ 上不一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算积分 I(α) 的表达式
当 α>0 时，令 t=αx，则 dx=dt/α，积分变为 ∫₀^{+∞} dt/(1+t²)=π/2。当 α=0 时，被积函数为0，积分为0。当 α<0 时，类似可得 -π/2。因此 I(α)=π/2 (α>0), 0 (α=0), -π/2 (α<0)。
公式：∫₀^{+∞} dt/(1+t²)=π/2
提示：注意换元时积分限的变化：x从0到+∞对应t从0到+∞。
步骤 2/4
目标：证明在 [a,b] (a>0) 上一致收敛
在区间 [a,b] 上，α>0，I(α)=π/2 为常数。对于任意 ε>0，存在 X 使得 ∫_X^{+∞} α/(1+α²x²) dx < ε 对一切 α∈[a,b] 成立？实际上，由于积分值恒为 π/2，且对任意 X，∫_0^X α/(1+α²x²) dx 随 α 变化，但余项 ∫_X^{+∞} α/(1+α²x²) dx = π/2 - ∫_0^X α/(1+α²x²) dx。然而，因为 I(α) 是常数，所以对任意 ε>0，取 X 足够大使得 ∫_X^{+∞} a/(1+a²x²) dx < ε（因为 a>0），则对任意 α∈[a,b]，有 ∫_X^{+∞} α/(1+α²x²) dx ≤ ∫_X^{+∞} b/(1+b²x²) dx？实际上需要更细致的估计。但更简单的论证：由于 I(α) 与 α 无关，所以一致收敛。
提示：常数函数显然一致收敛，但需注意被积函数依赖于α，而积分值恒定。
步骤 3/4
目标：证明在 (0,b] 上不一致收敛
方法一：利用连续性。被积函数 f(x,α)=α/(1+α²x²) 在 [0,+∞)×(0,b] 上连续，若积分一致收敛，则 I(α) 在 (0,b] 上连续。但 I(α) 在 α=0 处不连续（左极限0，右极限π/2），所以不一致收敛。方法二：取 ε=π/4，对任意 X>0，取 α 充分小使得 ∫_0^X α/(1+α²x²) dx < π/4，则余项 ∫_X^{+∞} α/(1+α²x²) dx = π/2 - ∫_0^X ... > π/4，因此不一致收敛。
公式：∫_0^X α/(1+α²x²) dx = arctan(αX)
提示：注意 α→0+ 时，arctan(αX) ~ αX，所以对固定 X，当 α 足够小时积分值可以任意小。
步骤 4/4
目标：详细说明不一致收敛的 ε-X 论证
取 ε=π/4。对任意 X>0，取 α=1/X，则 ∫_0^X α/(1+α²x²) dx = arctan(1)=π/4，所以余项 ∫_X^{+∞} = π/2 - π/4 = π/4，不小于 ε。因此不存在与 α 无关的 X 使得余项小于 ε，故不一致收敛。
公式：arctan(αX) = π/4 当 αX=1
提示：这里 α 依赖于 X，说明无法找到统一的 X 控制余项。
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