上海理工大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．求 $\displaystyle \frac{x}{1 \cdot 2}+\frac{x}{2 \cdot 3}+\frac{x}{3 \cdot 4}+\cdots$ 的收敛区间和和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出级数通项并提取公因子
级数为 $\frac{x}{1\cdot2}+\frac{x}{2\cdot3}+\frac{x}{3\cdot4}+\cdots$，其通项为 $\frac{x}{n(n+1)}$，因此级数可写为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n(n+1)} = x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n(n+1)} = x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$
提示：注意提取公因子 $x$ 时，$x$ 与 $n$ 无关，可以提到求和号外。
步骤 2/6
目标：将常数项级数裂项相消
利用裂项公式：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$。
公式：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
提示：裂项时注意符号，$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ 是正确的，不要写成 $\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}$。
步骤 3/6
目标：计算部分和并求极限
部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1}$。当 $N \to \infty$ 时，$S_N \to 1$。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$
提示：部分和计算中，中间项全部抵消，只剩首项 $1$ 和末项 $-\frac{1}{N+1}$，注意不要遗漏负号。
步骤 4/6
目标：确定收敛区间
由于常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 收敛（和为1），所以原级数 $x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 对任意实数 $x$ 都收敛。因此收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。
提示：这里级数不含 $x$ 的幂次，因此不是幂级数，收敛区间由常数项级数的收敛性决定，与 $x$ 无关。
步骤 5/6
目标：求和函数
对任意 $x \in (-\infty, +\infty)$，和函数 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n(n+1)} = x \cdot 1 = x$。
公式：$S(x) = x$
提示：和函数是 $x$ 本身，注意不要忘记乘以 $x$。
步骤 6/6
目标：总结答案
收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$，和函数为 $S(x)=x$。
提示：最终答案需明确写出收敛区间和和函数。
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