东北大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析被积函数在n→∞时的逐点极限
对于固定的$x \in [0,1]$，当$n \to +\infty$时：
- 若$0 \le x < 1$，则$x^n \to 0$，从而$\ln(1+x^n) \to \ln 1 = 0$；
- 若$x = 1$，则$x^n = 1$，从而$\ln(1+1) = \ln 2$。
因此逐点极限函数为$f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ \ln 2, & x=1 \end{cases}$。
公式：\lim_{n\to\infty} \ln(1+x^n) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ \ln 2, & x=1 \end{cases}
提示：注意端点x=1处的行为与内部不同，但单点不影响积分值。
步骤 2/4
目标：判断极限与积分交换的可行性
对每个固定的$x \in [0,1]$，函数列$\ln(1+x^n)$关于$n$单调递减（因为$x^n$递减），且$0 \le \ln(1+x^n) \le \ln 2$，而$\ln 2$在$[0,1]$上可积。由勒贝格控制收敛定理（或单调收敛定理），极限可以进入积分号内。
公式：0 \le \ln(1+x^n) \le \ln 2, \quad \int_0^1 \ln 2 \, dx = \ln 2 < +\infty
提示：控制收敛定理要求存在一个可积的控制函数，这里$\ln 2$即为常数控制函数。
步骤 3/4
目标：计算极限积分
由控制收敛定理，交换极限与积分：
\[
\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \ln(1+x^n) \, dx = \int_0^1 \lim_{n\to\infty} \ln(1+x^n) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx.
\]
由于$f(x)$仅在$x=1$处取非零值$\ln 2$，而单点集在黎曼积分中测度为0，因此积分值为0。
公式：\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0
提示：黎曼积分中改变有限个点的函数值不影响积分值。
步骤 4/4
目标：用初等方法验证结果（可选）
对任意$\varepsilon \in (0,1)$，将积分区间分为$[0,1-\varepsilon]$和$[1-\varepsilon,1]$两部分：
- 第一部分：$x \le 1-\varepsilon$时，$x^n \le (1-\varepsilon)^n$，利用不等式$\ln(1+u) \le u$得$\ln(1+x^n) \le (1-\varepsilon)^n$，积分$\le (1-\varepsilon)^n \to 0$（当$n\to\infty$）；
- 第二部分：区间长度为$\varepsilon$，被积函数$\le \ln 2$，积分$\le \varepsilon \ln 2$。
先令$n\to\infty$，第一部分趋于0，再令$\varepsilon \to 0$，第二部分趋于0，故极限为0。
公式：\int_0^1 \ln(1+x^n)\,dx \le (1-\varepsilon)^n + \varepsilon \ln 2
提示：这种方法不需要实变函数知识，适合数学分析初学阶段。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，所求极限为 $0$：
$$\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 \ln(1+x^n) \, dx = 0.$$
提示：最终结果简洁，但需确认每一步的合理性。
步骤 6/7
目标：（备选）估计第二部分积分
在 $[1-\delta,1]$ 上，$\ln(1+x^n) \le \ln 2$，所以 $\int_{1-\delta}^1 \ln(1+x^n) \, dx \le \delta \ln 2 = \varepsilon$。
提示：第二部分积分直接利用控制函数 $\ln 2$ 和区间长度。
步骤 7/7
目标：（备选）综合估计
因此，当 $n>N$ 时，总积分 $\int_0^1 \ln(1+x^n) \, dx \le 2\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，极限为 $0$。
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，极限定义要求对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $N$。
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