东北大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、求曲面 $x^{2}+y^{2}=a z,(a>0), z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成立体区域的体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定两个曲面的方程及交线
抛物面方程为 $x^2 + y^2 = a z$，即 $z = \frac{x^2 + y^2}{a}$；锥面方程为 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$。令 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则交线满足 $\frac{r^2}{a} = r$，解得 $r = a$（$r \neq 0$），此时 $z = r = a$。因此交线是半径为 $a$、高度为 $a$ 的圆。
公式：$\frac{r^2}{a} = r \Rightarrow r = a$
提示：注意 $r=0$ 时两曲面也相交于原点，但交线主要是圆，原点为退化点。
步骤 2/5
目标：比较两曲面在区域内的上下位置
对于 $0 < r < a$，比较 $z_p = \frac{r^2}{a}$ 与 $z_c = r$：由于 $\frac{r^2}{a} < r$（因为 $\frac{r}{a} < 1$），所以抛物面在下，锥面在上。立体区域下方为抛物面，上方为锥面。
公式：$\frac{r^2}{a} < r$ 当 $0 < r < a$
提示：可通过代入特殊值（如 $r = a/2$）验证大小关系。
步骤 3/5
目标：建立柱坐标下的体积积分表达式
在柱坐标 $(r,\theta,z)$ 下，体积元为 $r\,dr\,d\theta\,dz$。$r$ 从 $0$ 到 $a$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，$z$ 从下曲面 $z = r^2/a$ 到上曲面 $z = r$。因此体积为 $V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{a} \int_{z=r^2/a}^{r} r\,dz\,dr\,d\theta$。
公式：$V = \int_0^{2\pi} \int_0^a \int_{r^2/a}^r r\,dz\,dr\,d\theta$
提示：柱坐标中 $r$ 是径向距离，非负；$\theta$ 为极角。
步骤 4/5
目标：逐层积分计算体积
先对 $z$ 积分：$\int_{z=r^2/a}^r r\,dz = r\left(r - \frac{r^2}{a}\right) = r^2 - \frac{r^3}{a}$。再对 $r$ 积分：$\int_0^a \left(r^2 - \frac{r^3}{a}\right) dr = \left[\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4a}\right]_0^a = \frac{a^3}{3} - \frac{a^4}{4a} = \frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{4} = \frac{a^3}{12}$。最后对 $\theta$ 积分：$V = \int_0^{2\pi} \frac{a^3}{12}\,d\theta = \frac{a^3}{12} \cdot 2\pi = \frac{\pi a^3}{6}$。
公式：$\int_0^a \left(r^2 - \frac{r^3}{a}\right) dr = \frac{a^3}{12}$
提示：注意积分上下限代入时，$r^4/(4a)$ 在 $r=a$ 处为 $a^3/4$，不要漏掉分母 $a$。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
因此，所求立体区域的体积为 $\frac{\pi a^3}{6}$。
公式：$V = \frac{\pi a^3}{6}$
提示：结果与 $a$ 的三次方成正比，单位正确。
步骤 6/7
目标：计算中间积分（对 $r$）
代入得 $V = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{a} r\left(r-\frac{r^2}{a}\right) dr = 2\pi \int_{0}^{a} \left(r^2-\frac{r^3}{a}\right) dr$。计算：$\int_{0}^{a} r^2 dr = \frac{a^3}{3}$，$\int_{0}^{a} \frac{r^3}{a} dr = \frac{1}{a}\cdot\frac{a^4}{4} = \frac{a^3}{4}$。所以 $V = 2\pi \left(\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{4}\right) = 2\pi \cdot \frac{a^3}{12} = \frac{\pi a^3}{6}$。
公式：$\int r^n dr = \frac{r^{n+1}}{n+1}$
提示：注意积分限代入时不要出错，减法通分。
步骤 7/7
目标：得出最终体积
因此，所求立体区域的体积为 $\frac{\pi a^3}{6}$。
提示：结果应包含 $a>0$，体积为正。
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