东北大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{3} x^{n}$ 的和函数，其中 $|x|<1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：从几何级数出发，建立基础求和公式
已知当 $|x|<1$ 时，几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}$。这是后续所有求导操作的基础。
公式：\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}
提示：注意级数从 $n=0$ 开始，而题目从 $n=1$ 开始，后续操作中需留意下标变化。
步骤 2/5
目标：求一次幂系数 $n x^n$ 的和函数
对 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}$ 两边关于 $x$ 求导，得到 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$。再两边乘以 $x$，得到 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}
提示：求导时注意 $n=0$ 项为常数，导数为0，因此求和下标自动从 $n=1$ 开始。
步骤 3/5
目标：求二次幂系数 $n^2 x^n$ 的和函数
令 $S_1(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$。对 $S_1(x)$ 求导：$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{(1-x)^2}\right)$。计算导数：$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{(1-x)^2}\right) = \frac{(1-x)^2 - x \cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4} = \frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$。再乘以 $x$ 得到 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}
提示：求导时使用商的导数公式，注意符号不要出错。化简时分子提取公因式 $(1-x)$ 可简化计算。
步骤 4/5
目标：求三次幂系数 $n^3 x^n$ 的和函数
令 $S_2(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x + x^2}{(1-x)^3}$。对 $S_2(x)$ 求导：$\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^{n-1} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x + x^2}{(1-x)^3}\right)$。计算导数：分子求导得 $1+2x$，分母求导得 $3(1-x)^2(-1)$，使用商的导数公式：$S_2'(x) = \frac{(1+2x)(1-x)^3 - (x+x^2)\cdot 3(1-x)^2(-1)}{(1-x)^6} = \frac{(1+2x)(1-x)^3 + 3(x+x^2)(1-x)^2}{(1-x)^6}$。提取公因式 $(1-x)^2$：$S_2'(x) = \frac{(1+2x)(1-x) + 3x(1+x)}{(1-x)^4}$。展开并合并：$(1+2x)(1-x) = 1 + x - 2x^2$，$3x(1+x) = 3x + 3x^2$，相加得 $1 + 4x + x^2$。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^{n-1} = \frac{1 + 4x + x^2}{(1-x)^4}$。两边乘以 $x$ 得到 $\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^{n} = \frac{x(1 + 4x + x^2)}{(1-x)^4}$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^{n} = \frac{x(1 + 4x + x^2)}{(1-x)^4}
提示：求导过程较复杂，注意每一步的代数化简，特别是提取公因式和合并同类项时要细心。
步骤 5/5
目标：整理最终和函数形式
将分子展开：$x(1 + 4x + x^2) = x + 4x^2 + x^3$。因此和函数为 $S(x) = \frac{x + 4x^2 + x^3}{(1-x)^4}$，其中 $|x|<1$。
公式：S(x) = \frac{x + 4x^2 + x^3}{(1-x)^4}
提示：最终结果可以保留展开形式或因式分解形式，通常以简洁为准。注意定义域 $|x|<1$ 不可遗漏。
步骤 6/7
目标：第三次求导得到 $\sum n^3 x^{n-1}$
对 $\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ 求导：设 $f(x)=\frac{x+x^2}{(1-x)^3}$，则 $f'(x)=\frac{(1+2x)(1-x)^3 - (x+x^2)\cdot 3(1-x)^2(-1)}{(1-x)^6} = \frac{(1+2x)(1-x)+3(x+x^2)}{(1-x)^4} = \frac{1+4x+x^2}{(1-x)^4}$，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^{n-1} = \frac{1+4x+x^2}{(1-x)^4}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^{n-1} = \frac{1+4x+x^2}{(1-x)^4}$
提示：求导过程较复杂，注意分子化简。
步骤 7/7
目标：乘以 $x$ 得到最终和函数
两边乘以 $x$：$\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^{n} = \frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^{n} = \frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}$
提示：最终结果，注意 $|x|<1$。
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