东北大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4、已知 $\Omega: x^{2}+y^{2} \leq z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}, z \geq 0, R>0$ ，求
$$
I=\iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解区域Ω的几何形状
区域Ω由两个条件围成：
1. 圆锥内部：\(x^2 + y^2 \le z^2\)，即锥面\(z = \sqrt{x^2+y^2}\)内部，顶点在原点，向上张开。
2. 球体内部：\(x^2 + y^2 + z^2 \le R^2\)，即半径为\(R\)的球体。
加上\(z \ge 0\)，所以Ω是上半球中被锥面截得的锥形部分。
公式：锥面方程：\(x^2 + y^2 = z^2\)；球面方程：\(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\)
提示：注意\(z \ge 0\)限制在上半空间，锥面与球面的交线在\(z = R/\sqrt{2}\)处。
步骤 2/5
目标：选择球坐标系并转化被积函数
由于被积函数\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)表示点到原点的距离，且区域具有球对称性，采用球坐标：
\(x = r\sin\theta\cos\phi,\ y = r\sin\theta\sin\phi,\ z = r\cos\theta\)，
体积元\(\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\)。
被积函数化为\(r\)，积分变为\(\iiint_\Omega r^3\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\)。
公式：球坐标变换：\(\sqrt{x^2+y^2+z^2} = r\)，\(\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\)
提示：球坐标中\(\theta\)为与z轴夹角，\(\phi\)为方位角。
步骤 3/5
目标：用球坐标描述区域Ω的积分限
锥面\(x^2+y^2 = z^2\)在球坐标下化为\(r^2\sin^2\theta = r^2\cos^2\theta\)，即\(\tan^2\theta = 1\)，取\(\theta = \pi/4\)（因\(z \ge 0\)）。
锥内部对应\(0 \le \theta \le \pi/4\)。
球体条件给出\(0 \le r \le R\)。
方位角\(\phi\)完整一周：\(0 \le \phi \le 2\pi\)。
公式：积分区域：\(0 \le r \le R,\ 0 \le \theta \le \pi/4,\ 0 \le \phi \le 2\pi\)
提示：注意锥面将上半球分为两部分，本题取锥内部，即靠近z轴的部分。
步骤 4/5
目标：分离变量并计算各积分
积分化为三个独立积分相乘：
\(I = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi \int_0^{\pi/4} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta \int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\)。
分别计算：
1. \(\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi = 2\pi\)；
2. \(\int_0^{\pi/4} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi/4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\)；
3. \(\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r = \frac{R^4}{4}\)。
公式：\[\int_0^{\pi/4} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \int_0^R r^3\,\mathrm{d}r = \frac{R^4}{4}\]
提示：计算\(\sin\theta\)积分时注意符号，\(\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2\)。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终答案
将各积分结果相乘：
\(I = 2\pi \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{2}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)。
也可展开为\(\frac{\pi R^4}{2} - \frac{\pi \sqrt{2} R^4}{4}\)。
公式：\[I = \frac{\pi R^4}{2}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]
提示：最终结果可保留括号形式或展开，两种写法等价。
步骤 6/7
目标：计算极角积分
计算 $\int_0^{\pi/4}\sin\phi\,\mathrm{d}\phi = [-\cos\phi]_0^{\pi/4} = -\cos(\pi/4) + \cos(0) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。
公式：$\int \sin\phi\,\mathrm{d}\phi = -\cos\phi$
提示：注意积分上下限代入时符号。
步骤 7/7
目标：计算方位角积分并合并结果
方位角积分 $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi$。因此
$$I = 2\pi \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{2}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi R^4}{4}(2 - \sqrt{2}).$$
提示：化简时注意有理化或提取公因子。
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