东北大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的可微函数，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M, 0<x<1$ ，证明：
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将积分区间等分，并拆分积分与和式
将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间 $\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right]$，$k=1,2,\dots,n$。则积分可写为各小区间上积分的和：
$$
\int_0^1 f(x) \, dx = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f(x) \, dx
$$
右端点黎曼和也可写为各小区间上常数函数 $f(k/n)$ 的积分：
$$
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f\left(\frac{k}{n}\right) \, dx
$$
公式：\int_0^1 f(x) \, dx = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f(x) \, dx,\quad \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f\left(\frac{k}{n}\right) \, dx
提示：注意黎曼和取的是右端点，因此每个小区间上的积分常数是 $f(k/n)$。
步骤 2/5
目标：将差值表示为各小区间上差分的积分之和
将积分与黎曼和相减，得到：
$$
\int_0^1 f(x) \, dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left[ f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right] dx
$$
公式：\int_0^1 f(x) \, dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left[ f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right] dx
提示：这一步将整体误差分解为 $n$ 个小区间上的局部误差之和。
步骤 3/5
目标：利用微分中值定理估计每个小区间上的被积函数
对每个小区间上的任意 $x \in \left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right]$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\frac{k}{n}$ 之间，使得：
$$
f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) = f'(\xi) \left( x - \frac{k}{n} \right)
$$
由条件 $|f'(\xi)| \leq M$ 且 $\left| x - \frac{k}{n} \right| \leq \frac{1}{n}$，得：
$$
\left| f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \leq M \cdot \frac{1}{n}
$$
公式：\left| f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \leq \frac{M}{n}
提示：注意中值定理要求函数可微，这里 $f$ 在 $(0,1)$ 内可微，满足条件。
步骤 4/5
目标：对每个小区间上的积分进行估计
对每个 $k$，有：
$$
\left| \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left[ f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right] dx \right| \leq \int_{(k-1)/n}^{k/n} \frac{M}{n} \, dx = \frac{M}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{M}{n^2}
$$
公式：\left| \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left[ f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right] dx \right| \leq \frac{M}{n^2}
提示：积分绝对值不等式：$\left|\int g\right| \leq \int |g|$，这里 $g$ 是连续函数，可直接应用。
步骤 5/5
目标：对所有小区间求和得到最终估计
由三角不等式，对所有 $k$ 求和：
$$
\left| \int_0^1 f(x) \, dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \leq \sum_{k=1}^n \frac{M}{n^2} = n \cdot \frac{M}{n^2} = \frac{M}{n}
$$
即得证。
公式：\left| \int_0^1 f(x) \, dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \leq \frac{M}{n}
提示：求和时注意 $n$ 个小区间，每个贡献 $M/n^2$，总和为 $M/n$。
步骤 6/6
目标：求和得到最终不等式
对所有 $k=1,\dots,n$ 求和，得
\[\left|\int_0^1 f(x)\,dx - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \sum_{k=1}^n \frac{M}{n^2} = n \cdot \frac{M}{n^2} = \frac{M}{n}.\]
提示：求和时注意 $n$ 个 $\frac{M}{n^2}$ 相加得 $\frac{M}{n}$。
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