东北大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
7、证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{\ln (n x)}{n x^{2}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定极限函数
对于固定的 $x>1$，当 $n \to \infty$ 时，有 $\ln(nx) = \ln n + \ln x$，因此 $f_n(x) = \frac{\ln n + \ln x}{n x^2}$。由于分子中的 $\ln n$ 增长比分母的 $n$ 慢，故 $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$。所以极限函数为 $f(x)=0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$
提示：注意 $x>1$ 保证 $\ln(nx)>0$，无需考虑绝对值符号。
步骤 2/6
目标：转化为上确界极限问题
要证明一致收敛，即证明 $\sup_{x>1} |f_n(x)-0| \to 0$（$n\to\infty$）。由于 $x>1$ 时 $\ln(nx)>0$，绝对值可去掉，只需估计 $\sup_{x>1} \frac{\ln(nx)}{n x^2}$。
公式：$\sup_{x>1} |f_n(x)-0| = \sup_{x>1} \frac{\ln(nx)}{n x^2}$
提示：一致收敛的判定关键是上确界趋于0，而非逐点极限。
步骤 3/6
目标：构造辅助函数并求导分析单调性
固定 $n$，令 $g_n(x)=\frac{\ln(nx)}{n x^2}$，$x>1$。求导得：$g_n'(x)=\frac{ \frac{1}{x} \cdot n x^2 - \ln(nx)\cdot 2nx }{n^2 x^4} = \frac{nx - 2n x \ln(nx)}{n^2 x^4} = \frac{1 - 2\ln(nx)}{n x^3}$。令导数为零得 $\ln(nx)=\frac12$，即 $x = \frac{e^{1/2}}{n}$。由于 $x>1$ 且 $n$ 较大时该临界点远小于1，不在区间内。
公式：$g_n'(x) = \frac{1 - 2\ln(nx)}{n x^3}$
提示：求导时注意复合函数求导法则，分子化简要仔细。
步骤 4/6
目标：判断导数符号并确定函数单调性
当 $x>1$ 时，$nx > n \ge 1$，对于足够大的 $n$，有 $nx > e^{1/2}$，从而 $\ln(nx) > \frac12$，故 $1-2\ln(nx) < 0$，即 $g_n'(x) < 0$。因此 $g_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格单调递减。
公式：$g_n'(x) < 0$ 对 $x>1$ 成立
提示：单调性判断需结合区间端点条件，注意临界点不在区间内。
步骤 5/6
目标：求上确界（最大值）
由于 $g_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，其最大值在左端点 $x=1$ 处取得（开区间取右极限）。故 $\sup_{x>1} g_n(x) = \lim_{x\to 1^+} \frac{\ln(nx)}{n x^2} = \frac{\ln n}{n}$。
公式：$\sup_{x>1} g_n(x) = \frac{\ln n}{n}$
提示：开区间取上确界时需用极限逼近端点，注意 $\ln(n\cdot 1)=\ln n$。
步骤 6/6
目标：验证一致收敛性
计算极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0$。因此 $\sup_{x>1} |f_n(x)-0| \to 0$，由定义知函数列在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0$
提示：$\frac{\ln n}{n} \to 0$ 是常见极限，可用洛必达法则或已知结论。
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