东北大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
9、证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在每个区间 $J_{1}=(-1,0)$ 以及 $J_{2}=(0,1)$ 上均是一致连续的，但在它们的和 $J_{1} \cup J_{2}$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数和区间
函数定义为 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$，定义域为 $x \neq 0$。考虑区间 $J_1=(-1,0)$ 和 $J_2=(0,1)$。在 $J_2$ 上 $x>0$，故 $|\sin x|=\sin x$；在 $J_1$ 上 $x<0$，$|\sin x|=\sin(-x)$。
公式：f(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x>0 \\ \frac{\sin(-x)}{x}, & x<0 \end{cases}
提示：注意绝对值处理，分区间简化表达式。
步骤 2/5
目标：证明在 J2=(0,1) 上一致连续
在 $(0,1)$ 上，$f(x)=\frac{\sin x}{x}$。该函数在 $(0,1]$ 上连续，且 $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$，因此可延拓为闭区间 $[0,1]$ 上的连续函数。闭区间上的连续函数必一致连续，故在 $(0,1)$ 上一致连续。
公式：\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1
提示：利用连续延拓和闭区间上连续函数一致连续的性质。
步骤 3/5
目标：证明在 J1=(-1,0) 上一致连续
令 $t=-x$，则 $t\in(0,1)$，且 $f(x)=\frac{|\sin(-t)|}{-t}=\frac{\sin t}{-t}=-\frac{\sin t}{t}$。函数 $-\frac{\sin t}{t}$ 在 $(0,1)$ 上连续，且 $\lim_{t\to 0^+}-\frac{\sin t}{t}=-1$，可延拓为 $[0,1]$ 上的连续函数，从而一致连续。
公式：f(x)=-\frac{\sin t}{t},\quad t=-x\in(0,1)
提示：变量替换后转化为与 J2 类似的情形。
步骤 4/5
目标：证明在 J1∪J2 上不一致连续
取点列 $x_n=\frac{1}{n\pi}\in J_2$，$y_n=-\frac{1}{n\pi}\in J_1$。计算：$f(x_n)=\frac{\sin(1/(n\pi))}{1/(n\pi)}\to 1$，$f(y_n)=\frac{\sin(1/(n\pi))}{-1/(n\pi)}\to -1$，故 $|f(x_n)-f(y_n)|\to 2$。而 $|x_n-y_n|=\frac{2}{n\pi}\to 0$。取 $\varepsilon=1$，对任意 $\delta>0$，存在 $n$ 使得 $|x_n-y_n|<\delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|>1$，因此不一致连续。
公式：|f(x_n)-f(y_n)|\to 2,\quad |x_n-y_n|\to 0
提示：利用0点两侧函数值极限不同（1和-1）构造反例。
步骤 5/5
目标：总结结论
函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $J_1=(-1,0)$ 和 $J_2=(0,1)$ 上分别一致连续，但在它们的并集 $J_1\cup J_2$ 上不一致连续。
提示：注意一致连续是整体性质，并集可能破坏一致性。
步骤 6/6
目标：总结结论
函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $J_1=(-1,0)$ 和 $J_2=(0,1)$ 上分别一致连续，但在 $J_1\cup J_2$ 上不一致连续。
提示：不一致连续的关键在于 $x=0$ 两侧的函数值差异无法通过距离控制。
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