东北大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
10、证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 发散．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数在无穷远处的行为
被积函数为 $f(x) = \frac{1}{1 + x^2 \sin^2 x}$，在 $[0, +\infty)$ 上恒正。当 $x$ 很大时，分母中的 $x^2 \sin^2 x$ 会周期性地变得很小，特别是在 $x \approx n\pi$（$n$ 为正整数）处，$\sin x \approx 0$，此时 $f(x) \approx 1$，函数值不衰减，这可能导致积分发散。
公式：$f(x) = \frac{1}{1 + x^2 \sin^2 x}$
提示：注意 $\sin x$ 在 $n\pi$ 附近为零，这是发散的关键点。
步骤 2/5
目标：在 $n\pi$ 附近近似被积函数
令 $x = n\pi + t$，其中 $|t|$ 很小。则 $\sin x = \sin(n\pi + t) = (-1)^n \sin t \approx t$，所以 $\sin^2 x \approx t^2$。于是分母近似为 $1 + (n\pi)^2 t^2$，被积函数近似为 $\frac{1}{1 + (n\pi)^2 t^2}$。
公式：$\sin^2 x \approx t^2$，$f(x) \approx \frac{1}{1 + (n\pi)^2 t^2}$
提示：近似仅在 $t$ 很小时成立，需在小区间上严格估计。
步骤 3/5
目标：构造小区间并给出积分下界
取区间 $I_n = \left[ n\pi - \frac{1}{n\pi},\; n\pi + \frac{1}{n\pi} \right]$，长度为 $\frac{2}{n\pi}$。在此区间内，$|t| \le \frac{1}{n\pi}$，且 $x \le n\pi + \frac{1}{n\pi}$，故 $x^2 \sin^2 x \le (n\pi+1)^2 t^2$（对足够大的 $n$）。因此 $f(x) \ge \frac{1}{1 + (n\pi+1)^2 t^2}$。
公式：$f(x) \ge \frac{1}{1 + (n\pi+1)^2 t^2}$
提示：下界估计要确保不等式方向正确：分母越大，函数值越小，这里用放大分母得到下界。
步骤 4/5
目标：计算小区间上的积分下界
在 $I_n$ 上，令 $k = n\pi+1$，$a = \frac{1}{n\pi}$，则积分下界为 $\int_{-a}^{a} \frac{1}{1 + k^2 t^2} dt = \frac{2}{k} \arctan(ka)$。计算 $ka = (n\pi+1) \cdot \frac{1}{n\pi} = 1 + \frac{1}{n\pi} > 1$，故 $\arctan(ka) > \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$（对 $n$ 足够大）。于是 $\int_{I_n} f(x) dx \ge \frac{2}{n\pi+1} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2(n\pi+1)}$。
公式：$\int_{I_n} f(x) dx \ge \frac{1}{2(n\pi+1)}$
提示：注意 $\arctan$ 是增函数，$ka > 1$ 时 $\arctan(ka) > \pi/4$。
步骤 5/5
目标：利用级数比较判别法证明发散
由于区间 $I_n$ 互不相交（当 $n$ 足够大时，区间长度 $\frac{2}{n\pi} < \pi$，且中心间距为 $\pi$），原积分满足 $\int_0^{+\infty} f(x) dx \ge \sum_{n=N}^{\infty} \int_{I_n} f(x) dx \ge \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{2(n\pi+1)}$。右端级数通项 $\sim \frac{1}{2\pi n}$，与调和级数同阶，故发散。因此原积分发散。
公式：$\int_0^{+\infty} f(x) dx \ge \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{2(n\pi+1)}$，调和级数发散
提示：区间不重叠是求和可行的关键，需验证长度小于间距。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。