东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(2026 \cos ^{2} n+\sin ^{2} n\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简底数表达式
原极限为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (2026 \cos^2 n + \sin^2 n)^{1/n}$。利用恒等式 $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$，将底数改写为：$2026 \cos^2 n + \sin^2 n = 2026 \cos^2 n + (1 - \cos^2 n) = 1 + 2025 \cos^2 n$。
公式：$a_n = 1 + 2025 \cos^2 n$
提示：注意将 $\sin^2 n$ 替换为 $1 - \cos^2 n$ 以简化表达式。
步骤 2/4
目标：分析底数的取值范围
由于 $n$ 是自然数，$\cos n$ 在 $[-1,1]$ 之间振荡，因此 $\cos^2 n \in [0,1]$。于是底数 $a_n = 1 + 2025 \cos^2 n$ 的取值范围为 $1 \le a_n \le 2026$。
公式：$1 \le a_n \le 2026$
提示：注意 $\cos^2 n$ 不能取到所有 $[0,1]$ 中的值，但范围是确定的。
步骤 3/4
目标：利用夹逼定理求极限
考虑 $ (a_n)^{1/n} $，由于 $1 \le a_n \le 2026$，有 $1^{1/n} \le (a_n)^{1/n} \le 2026^{1/n}$。当 $n \to \infty$ 时，$1^{1/n} = 1$，而 $\lim_{n \to \infty} 2026^{1/n} = \lim_{n \to \infty} e^{(\ln 2026)/n} = e^0 = 1$。由夹逼定理，原极限为 $1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} 1^{1/n} = 1$，$\lim_{n \to \infty} 2026^{1/n} = 1$
提示：夹逼定理要求两边极限相等，这里左右极限均为1，因此中间项极限为1。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，所求极限为 $1$。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (2026 \cos^2 n + \sin^2 n)^{1/n} = 1$
提示：最终答案是一个常数，与 $n$ 的振荡无关。
步骤 5/6
目标：求对数项的极限
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{\ln 2026}{n} \to 0$，由夹逼定理得：
$$\lim_{n \to \infty} \ln a_n = 0$$
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln 2026}{n} = 0$
提示：注意夹逼准则的应用条件：两边极限相等。
步骤 6/6
目标：还原原极限值
由 $\ln a_n \to 0$ 及指数函数的连续性得：
$$\lim_{n \to \infty} a_n = e^0 = 1$$
公式：$a_n = e^{\ln a_n} \to e^0 = 1$
提示：指数函数连续，极限可交换。
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