东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+2026^{x}}{2026}\right)^{\frac{1}{\sin x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：处理底数部分，将每一项展开为泰勒级数
当 $x \to 0$ 时，对 $k^x = e^{x \ln k}$ 进行泰勒展开：$k^x = 1 + x \ln k + \frac{x^2}{2} (\ln k)^2 + o(x^2)$。求和得到：$\sum_{k=1}^{2026} k^x = 2026 + x \sum_{k=1}^{2026} \ln k + \frac{x^2}{2} \sum_{k=1}^{2026} (\ln k)^2 + o(x^2)$。注意 $\sum_{k=1}^{2026} \ln k = \ln(2026!)$。
公式：k^x = 1 + x \ln k + \frac{x^2}{2} (\ln k)^2 + o(x^2)
提示：展开时注意保留到 $x$ 的一次项即可，因为后续取对数后高阶项不影响极限。
步骤 2/4
目标：计算底数的平均值并展开
将求和结果除以2026：$\frac{\sum_{k=1}^{2026} k^x}{2026} = 1 + \frac{x \ln(2026!)}{2026} + \frac{x^2}{2 \cdot 2026} \sum_{k=1}^{2026} (\ln k)^2 + o(x^2)$。
公式：\frac{\sum k^x}{2026} = 1 + \frac{x \ln(2026!)}{2026} + O(x^2)
提示：注意底数趋近于1，这是后续取对数展开的前提。
步骤 3/4
目标：取对数处理幂指形式
设原极限为 $L$，则 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin x} \ln\left( \frac{\sum k^x}{2026} \right)$。当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，且 $\ln(1+u) \sim u$（$u \to 0$），其中 $u = \frac{x \ln(2026!)}{2026} + O(x^2)$。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \left( \frac{x \ln(2026!)}{2026} + O(x^2) \right)
提示：注意等价无穷小替换 $\sin x \sim x$ 和 $\ln(1+u) \sim u$ 的使用条件。
步骤 4/4
目标：计算极限并得到最终结果
化简得 $\ln L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln(2026!)}{2026} + O(x) \right) = \frac{\ln(2026!)}{2026}$。因此 $L = e^{\frac{\ln(2026!)}{2026}} = (2026!)^{\frac{1}{2026}}$。
公式：L = (2026!)^{\frac{1}{2026}}
提示：最终结果是一个正数，注意指数运算的合法性。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
综上，极限值为 $(2026!)^{1/2026}$。
公式：$\boxed{(2026!)^{1/2026}}$
提示：结果可理解为2026个数的几何平均的极限形式。
步骤 6/6
目标：还原极限结果
由 $\ln L = A$ 得 $L = e^A$，而 $A = \frac{1}{2026}\sum_{k=1}^{2026}\ln k = \ln\left((2026!)^{\frac{1}{2026}}\right)$，因此
\[L = (2026!) ^{\frac{1}{2026}}\]
公式：\boxed{(2026!) ^{\frac{1}{2026}}}
提示：注意 $\sum_{k=1}^{2026}\ln k = \ln(2026!)$，这是对数运算的基本性质。
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