东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．计算重积分 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由椭圆 $9 x^{2}+y^{2}=1$ 所围成．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解积分区域并标准化椭圆方程
椭圆方程为 \(9x^2 + y^2 = 1\)，将其改写为标准形式：
\[
\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1
\]
因此，区域 \(D\) 是一个半长轴在 \(y\) 轴方向长度为 1，半短轴在 \(x\) 轴方向长度为 \(1/3\) 的椭圆。
公式：\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1
提示：注意椭圆方程中系数对应半轴长度的平方倒数，不要混淆长轴和短轴。
步骤 2/6
目标：选择合适的变量变换（广义极坐标）
由于区域是椭圆，采用广义极坐标变换：
设 \(x = \frac{r}{3} \cos\theta,\quad y = r \sin\theta\)，其中 \(r \ge 0\)，\(\theta \in [0, 2\pi)\)。
代入椭圆方程：
\[
9\left(\frac{r}{3}\cos\theta\right)^2 + (r\sin\theta)^2 = r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2 = 1
\]
所以 \(r\) 的取值范围为 \(0 \le r \le 1\)。
公式：x = \frac{r}{3} \cos\theta,\quad y = r \sin\theta
提示：广义极坐标的系数应与椭圆半轴长度匹配，确保变换后区域变为单位圆。
步骤 3/6
目标：计算雅可比行列式并变换面积元
计算变换的雅可比行列式：
\[
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =
\begin{vmatrix}
\frac{1}{3}\cos\theta & -\frac{r}{3}\sin\theta \\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{vmatrix}
= \frac{1}{3}\cos\theta \cdot r\cos\theta - \left(-\frac{r}{3}\sin\theta\right)\sin\theta
= \frac{r}{3}\cos^2\theta + \frac{r}{3}\sin^2\theta = \frac{r}{3}
\]
因此面积元为 \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{r}{3}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\)。
公式：\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{r}{3}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta
提示：雅可比行列式计算结果要取绝对值，此处 \(r \ge 0\) 故直接为正。
步骤 4/6
目标：变换被积函数并写出积分表达式
被积函数变换为：
\[
x^2 + y^2 = \left(\frac{r}{3}\cos\theta\right)^2 + (r\sin\theta)^2
= \frac{r^2}{9}\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta
= r^2\left(\frac{\cos^2\theta}{9} + \sin^2\theta\right)
\]
原积分化为：
\[
\iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy
= \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} r^2\left(\frac{\cos^2\theta}{9} + \sin^2\theta\right) \cdot \frac{r}{3} \, dr\, d\theta
= \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\cos^2\theta}{9} + \sin^2\theta \right) d\theta \cdot \int_{0}^{1} \frac{r^3}{3} \, dr
\]
公式：\iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{\cos^2\theta}{9} + \sin^2\theta \right) d\theta \cdot \int_{0}^{1} \frac{r^3}{3} \, dr
提示：注意将积分拆分为 \(r\) 和 \(\theta\) 的乘积形式，简化计算。
步骤 5/6
目标：分别计算 r 积分和 θ 积分
先计算 \(r\) 积分：
\[
\int_0^1 \frac{r^3}{3} \, dr = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}
\]
再计算 \(\theta\) 积分：
\[
\int_0^{2\pi} \left( \frac{\cos^2\theta}{9} + \sin^2\theta \right) d\theta
= \frac{1}{9} \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta + \int_0^{2\pi} \sin^2\theta\, d\theta
\]
利用公式 \(\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta = \pi\)，\(\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\, d\theta = \pi\)，得：
\[
\frac{1}{9} \cdot \pi + \pi = \pi\left(1 + \frac{1}{9}\right) = \frac{10\pi}{9}
\]
公式：\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta = \pi,\quad \int_0^{2\pi} \sin^2\theta\, d\theta = \pi
提示：计算 \(\cos^2\theta\) 和 \(\sin^2\theta\) 在整周期上的积分时，可利用对称性或倍角公式简化。
步骤 6/6
目标：相乘得到最终结果
将两个积分结果相乘：
\[
\iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy = \frac{1}{12} \cdot \frac{10\pi}{9} = \frac{10\pi}{108} = \frac{5\pi}{54}
\]
因此，所求重积分的值为 \(\displaystyle \frac{5\pi}{54}\)。
公式：\frac{1}{12} \cdot \frac{10\pi}{9} = \frac{5\pi}{54}
提示：最后结果需化简分数，注意约分。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
原积分 \(= \frac{1}{12} \cdot \frac{10\pi}{9} = \frac{10\pi}{108} = \frac{5\pi}{54}\)。
公式：\frac{1}{12} \times \frac{10\pi}{9} = \frac{5\pi}{54}
提示：最后结果需化简分数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。