东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．计算定积分 $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{t^{2027}-t^{2025}+t+1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的奇偶性
分母 $\cos^2 t$ 是偶函数。分子 $t^{2027} - t^{2025} + t + 1$ 中，$t^{2027}$、$-t^{2025}$、$t$ 均为奇函数，常数 $1$ 为偶函数。因此分子可分解为奇函数部分 $t^{2027} - t^{2025} + t$ 和偶函数部分 $1$。
公式：f_{\text{奇}}(t) = t^{2027} - t^{2025} + t, \quad f_{\text{偶}}(t) = 1
提示：注意奇函数乘以偶函数仍为奇函数，奇函数在对称区间积分为0。
步骤 2/5
目标：利用奇偶性简化积分
由于分母是偶函数，奇函数部分除以偶函数仍为奇函数，在 $[-1,1]$ 上积分为0。偶函数部分除以偶函数仍为偶函数，积分等于 $2$ 倍 $[0,1]$ 上的积分。因此原积分化为 $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\cos^2 t} \, dt$。
公式：\int_{-1}^{1} \frac{t^{2027}-t^{2025}+t+1}{\cos^2 t} \, dt = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\cos^2 t} \, dt
提示：不要忘记奇函数部分积分为0，只保留偶函数部分。
步骤 3/5
目标：计算简化后的积分
由于 $\frac{1}{\cos^2 t} = \sec^2 t$，其原函数为 $\tan t$。因此 $\displaystyle \int_{-1}^{1} \sec^2 t \, dt = \left[ \tan t \right]_{-1}^{1} = \tan 1 - \tan(-1)$。
公式：\int \sec^2 t \, dt = \tan t + C
提示：注意 $\sec^2 t$ 的原函数是 $\tan t$，不要与 $\sec t$ 混淆。
步骤 4/5
目标：利用奇函数性质得到最终结果
$\tan t$ 是奇函数，故 $\tan(-1) = -\tan 1$。因此 $\tan 1 - \tan(-1) = \tan 1 - (-\tan 1) = 2\tan 1$。
公式：\tan(-x) = -\tan x
提示：代入上下限时注意符号，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
原定积分的值为 $2\tan 1$。
公式：\boxed{2\tan 1}
提示：最终结果保留为 $2\tan 1$，无需近似计算。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原积分等于 $2\tan 1$。
公式：$$\boxed{2\tan 1}$$
提示：最终结果保留为 $\tan 1$ 的形式，无需近似计算。
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