东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三．（ 15 分）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 由方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y z+2 x z+x y=u \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
\end{array}\right.
$$
所确定，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 及 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对第一个方程两边关于 x 求偏导
已知方程组：
$$
\left\{
\begin{aligned}
y z + 2x z + x y &= u, \\
x^2 + y^2 + z^2 &= 1.
\end{aligned}
\right.
$$
其中 $u$ 和 $z$ 都是 $x,y$ 的函数。对第一个方程两边关于 $x$ 求偏导，$y$ 视为常数：
$$
\frac{\partial}{\partial x}(y z) + \frac{\partial}{\partial x}(2x z) + \frac{\partial}{\partial x}(x y) = \frac{\partial u}{\partial x}.
$$
计算得：
$$
y \frac{\partial z}{\partial x} + 2z + 2x \frac{\partial z}{\partial x} + y = \frac{\partial u}{\partial x}.
$$
整理含 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的项：
$$
(y + 2x) \frac{\partial z}{\partial x} + 2z + y = \frac{\partial u}{\partial x}. \tag{1}
$$
公式：\frac{\partial u}{\partial x} = (y+2x)\frac{\partial z}{\partial x} + 2z + y
提示：注意 $z$ 也是 $x,y$ 的函数，求偏导时不能忽略 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 项。
步骤 2/6
目标：对第二个方程关于 x 求偏导，得到 ∂z/∂x
对第二个方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 两边关于 $x$ 求偏导：
$$
2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0.
$$
解得：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}. \tag{2}
$$
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}
提示：由约束方程可直接得到 $\frac{\partial z}{\partial x}$，注意分母 $z$ 不为零。
步骤 3/6
目标：代入求 ∂u/∂x
将 (2) 代入 (1)：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = (y+2x)\left(-\frac{x}{z}\right) + 2z + y.
$$
整理得：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = y + 2z - \frac{x y + 2x^2}{z}.
$$
公式：\frac{\partial u}{\partial x} = y + 2z - \frac{x y + 2x^2}{z}
提示：最终结果可写成 $y + 2z - \frac{x(y+2x)}{z}$，注意符号。
步骤 4/6
目标：对 ∂u/∂x 关于 y 求偏导，得到混合偏导表达式
由 $\frac{\partial u}{\partial x} = y + 2z - \frac{x y}{z} - \frac{2x^2}{z}$，对 $y$ 求偏导（$z$ 是 $x,y$ 的函数）：
- 第一项：$\frac{\partial}{\partial y}(y) = 1$。
- 第二项：$\frac{\partial}{\partial y}(2z) = 2\frac{\partial z}{\partial y}$。
- 第三项：$\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x y}{z}\right) = -x \cdot \frac{z - y\frac{\partial z}{\partial y}}{z^2}$。
- 第四项：$\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{2x^2}{z}\right) = \frac{2x^2}{z^2}\frac{\partial z}{\partial y}$。
因此：
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 1 + 2\frac{\partial z}{\partial y} - x\cdot\frac{z - y\frac{\partial z}{\partial y}}{z^2} + \frac{2x^2}{z^2}\frac{\partial z}{\partial y}. \tag{3}
$$
公式：\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 1 + 2\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{x(z - y\frac{\partial z}{\partial y})}{z^2} + \frac{2x^2}{z^2}\frac{\partial z}{\partial y}
提示：对分式求偏导时注意商法则，$z$ 是函数，不能视为常数。
步骤 5/6
目标：求 ∂z/∂y
对第二个方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 关于 $y$ 求偏导：
$$
2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} = 0,
$$
解得：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}. \tag{4}
$$
公式：\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}
提示：与求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 类似，注意对称性。
步骤 6/6
目标：代入并化简混合偏导
将 (4) 代入 (3)：
- 第二项：$2\left(-\frac{y}{z}\right) = -\frac{2y}{z}$。
- 第三项：$-x \cdot \frac{z - y(-\frac{y}{z})}{z^2} = -x \cdot \frac{z + \frac{y^2}{z}}{z^2} = -x \cdot \frac{z^2 + y^2}{z^3}$。
- 第四项：$\frac{2x^2}{z^2}\left(-\frac{y}{z}\right) = -\frac{2x^2 y}{z^3}$。
所以：
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 1 - \frac{2y}{z} - \frac{x(z^2 + y^2)}{z^3} - \frac{2x^2 y}{z^3}.
$$
由约束 $x^2+y^2+z^2=1$ 得 $z^2+y^2 = 1-x^2$，代入第三项：
$$
-\frac{x(1-x^2)}{z^3}.
$$
合并后两项：
$$
-\frac{x(1-x^2) + 2x^2 y}{z^3} = -\frac{x - x^3 + 2x^2 y}{z^3}.
$$
最终：
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 1 - \frac{2y}{z} - \frac{x - x^3 + 2x^2 y}{z^3}.
$$
公式：\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 1 - \frac{2y}{z} - \frac{x - x^3 + 2x^2 y}{z^3}
提示：利用约束条件简化表达式，注意合并同类项时符号。
步骤 7/7
目标：代入并化简得到 $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$ 的最终表达式
将 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$ 代入混合偏导的表达式中：
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = -\frac{x}{z} + \frac{x(y+2x)}{z^2} \left(-\frac{y}{z}\right) + 2\left(-\frac{y}{z}\right) + 1
\]
化简得：
\[
= -\frac{x}{z} - \frac{xy(y+2x)}{z^3} - \frac{2y}{z} + 1
\]
合并含 $\frac{1}{z}$ 的项：
\[
-\frac{x}{z} - \frac{2y}{z} = -\frac{x+2y}{z}
\]
因此：
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 1 - \frac{x+2y}{z} - \frac{xy(y+2x)}{z^3}
\]
公式：\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} = 1 - \frac{x+2y}{z} - \frac{xy(y+2x)}{z^{3}}
提示：化简时注意合并同类项，确保符号正确。
步骤 8/8
目标：代入并化简 $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$
将 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$ 和上述结果代入：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 1 + 2\left(-\frac{y}{z}\right) - \frac{xz^2 + y(xy + 2x^2)}{z^3} = 1 - \frac{2y}{z} - \frac{xz^2 + xy^2 + 2x^2 y}{z^3}.$$
提示：最终结果可保留为分式形式，无需进一步化简。
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