东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九．（10 分）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+1} \leq a_{n}+\frac{1}{2026^{n}}$ ．
（1）证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用递推不等式累加得到数列上界
由条件 $a_{n+1} \le a_n + \frac{1}{2026^n}$，反复递推至 $a_1$：
\[
a_n \le a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2026^k}.
\]
右边是等比数列求和，公比 $q = \frac{1}{2026} < 1$，部分和小于无穷级数和：
\[
\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2026^k} < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2026^k} = \frac{\frac{1}{2026}}{1-\frac{1}{2026}} = \frac{1}{2025}.
\]
因此对任意 $n$，有 $a_n \le a_1 + \frac{1}{2025}$，即数列有上界。
公式：a_n \le a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2026^k} < a_1 + \frac{1}{2025}
提示：注意等比数列求和公式中，首项是 $\frac{1}{2026}$，项数为 $n-1$，但用无穷级数放缩时需确认级数收敛。
步骤 2/5
目标：说明数列有下界
题目已明确正数列，即 $a_n > 0$ 对所有 $n$ 成立，因此数列有下界 $0$。结合上界，数列有界。
公式：a_n > 0
提示：正数列条件不可忽略，它保证了下界的存在。
步骤 3/5
目标：构造辅助数列并证明其单调递减
定义 $b_n = a_n + \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k}$。由于 $\frac{1}{2026} < 1$，无穷级数收敛。计算差值：
\[
b_n - b_{n+1} = (a_n - a_{n+1}) + \frac{1}{2026^n}.
\]
由条件 $a_{n+1} \le a_n + \frac{1}{2026^n}$ 得 $a_n - a_{n+1} \ge -\frac{1}{2026^n}$，代入得：
\[
b_n - b_{n+1} \ge -\frac{1}{2026^n} + \frac{1}{2026^n} = 0.
\]
所以 $b_n \ge b_{n+1}$，即 $\{b_n\}$ 单调递减。
公式：b_n - b_{n+1} = (a_n - a_{n+1}) + \frac{1}{2026^n} \ge 0
提示：构造辅助数列是处理非单调数列收敛问题的常用技巧，关键在于抵消递推不等式中的增量项。
步骤 4/5
目标：证明辅助数列有下界并推出收敛
因为 $a_n > 0$ 且 $\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k} > 0$，所以 $b_n > 0$，即 $\{b_n\}$ 有下界 $0$。单调递减且有下界，故 $\{b_n\}$ 收敛，设极限为 $L$。
公式：b_n > 0, \; b_n \searrow \; \Rightarrow \; \lim_{n\to\infty} b_n = L
提示：单调有界定理是证明数列收敛的基本定理，需确认单调性和有界性均成立。
步骤 5/5
目标：由辅助数列的收敛性推出原数列收敛
注意到 $\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k} = \frac{1}{2026^{n-1}(2025)}$，当 $n \to \infty$ 时趋于 $0$。由 $a_n = b_n - \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k}$，两边取极限得：
\[
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n - 0 = L.
\]
因此 $\{a_n\}$ 收敛。
公式：a_n = b_n - \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k}, \; \lim_{n\to\infty} a_n = L
提示：无穷级数的余项趋于0是常见结论，需确认级数收敛性。
步骤 6/6
目标：利用 $c_n$ 的收敛性证明 $a_n$ 收敛。
由 $c_n = a_n + \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k}$，得 $a_n = c_n - \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k}$。由于 $\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k} = \frac{1}{2026^{n-1}(2025)} \to 0$（$n\to\infty$），且 $c_n$ 收敛，故 $a_n$ 也收敛，且 $\lim a_n = L$。
公式：\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L
提示：级数尾部趋于0是收敛的关键，注意验证 $\frac{1}{2026^{n-1}(2025)} \to 0$。
步骤 7/8
目标：由单调有界定理得辅助数列收敛
$\{b_n\}$ 单调递减且有下界，故收敛。设 $\lim_{n\to\infty} b_n = L$。
提示：单调有界定理是实数完备性的重要结论。
步骤 8/8
目标：推导原数列收敛
由于 $\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k} \to 0$（$n\to\infty$），且 $a_n = b_n - \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k}$，所以 $\lim_{n\to\infty} a_n = L - 0 = L$，即 $\{a_n\}$ 收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2026^k} = 0$
提示：注意极限的四则运算法则。
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