东北师范大学 2026年数学分析第0题

被积函数为 $\frac{x \mathrm{~d} y - y \mathrm{~d} x}{16x^2 + y^2}$，分母为零的条件是 $16x^2 + y^2 = 0$，在实数范围内仅有点 $(0,0)$ 满足。因此原点 $(0,0)$ 是可能的奇点。曲线 $\Gamma$ 为圆周 $(x-2)^2 + y^2 = 9$，圆心为 $(2,0)$，半径为 $3$。原点到圆心的距离为 $2 < 3$，故原点位于曲线内部，被积函数在曲线所围区域内有奇点，不能直接应用格林公式。

设 $P = \frac{-y}{16x^2 + y^2}$，$Q = \frac{x}{16x^2 + y^2}$，则曲线积分为 $\oint P \mathrm{~d}x + Q \mathrm{~d}y$。计算偏导数： $\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{16x^2 + y^2} + \frac{2y^2}{(16x^2 + y^2)^2} = \frac{-16x^2 + y^2}{(16x^2 + y^2)^2}$ $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{16x^2 + y^2} - \frac{32x^2}{(16x^2 + y^2)^2} = \frac{-16x^2 + y^2}{(16x^2 + y^2)^2}$ 因此 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，在除去原点的区域，向量场是保守的（旋度为零）。

由于原点在曲线内部，作一个小闭曲线 $C_\varepsilon$ 包围原点，取逆时针方向。在 $\Gamma$ 和 $C_\varepsilon$ 之间的区域（不含原点）应用格林公式，旋度为零，故有： $\oint_{\Gamma} P \mathrm{~d}x + Q \mathrm{~d}y - \oint_{C_\varepsilon} P \mathrm{~d}x + Q \mathrm{~d}y = \iint_D 0 \mathrm{~d}A = 0$ 其中 $C_\varepsilon$ 取顺时针方向时，外边界 $\Gamma$ 逆时针、内边界 $C_\varepsilon$ 顺时针构成正向边界。因此 $\oint_{\Gamma} = \oint_{C_\varepsilon}$（$C_\varepsilon$ 取逆时针方向）。原积分等于绕原点逆时针小闭曲线的积分。

为简化计算，取小椭圆 $16x^2 + y^2 = \delta^2$，使得分母为常数。参数化：令 $x = \frac{\delta}{4} \cos\theta$，$y = \delta \sin\theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，方向为逆时针。计算微分： $\mathrm{d}x = -\frac{\delta}{4} \sin\theta \mathrm{~d}\theta$，$\mathrm{d}y = \delta \cos\theta \mathrm{~d}\theta$ 代入分子： $x \mathrm{~d}y - y \mathrm{~d}x = \frac{\delta}{4} \cos\theta \cdot \delta \cos\theta \mathrm{~d}\theta - \delta \sin\theta \cdot \left(-\frac{\delta}{4} \sin\theta \mathrm{~d}\theta\right) = \frac{\delta^2}{4} (\cos^2\theta + \sin^2\theta) \mathrm{~d}\theta = \frac{\delta^2}{4} \mathrm{~d}\theta$ 分母为 $16x^2 + y^2 = \delta^2$。

将参数化结果代入积分： $\oint_{C_\varepsilon} \frac{x \mathrm{~d}y - y \mathrm{~d}x}{16x^2 + y^2} = \int_0^{2\pi} \frac{\frac{\delta^2}{4} \mathrm{~d}\theta}{\delta^2} = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \mathrm{~d}\theta = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$ 因此原曲线积分 $\oint_{\Gamma} \frac{x \mathrm{~d}y - y \mathrm{~d}x}{16x^2 + y^2} = \frac{\pi}{2}$。

代入积分表达式： $\oint_{L_\varepsilon} \frac{xdy - ydx}{16x^2 + y^2} = \frac{1}{\varepsilon^2} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{\varepsilon}{4}\cos\theta \cdot \varepsilon\cos\theta - \varepsilon\sin\theta \cdot \left(-\frac{\varepsilon}{4}\sin\theta\right) \right] d\theta$ $= \frac{1}{\varepsilon^2} \int_0^{2\pi} \left( \frac{\varepsilon^2}{4}\cos^2\theta + \frac{\varepsilon^2}{4}\sin^2\theta \right) d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{\pi}{2}$。

由格林公式，原积分等于小椭圆上的积分，因此 $\oint_L \frac{xdy - ydx}{16x^2 + y^2} = \frac{\pi}{2}$。