东北师范大学 2026年数学分析第0题

解方程 $2x^2 = x$，得 $2x^2 - x = 0$，即 $x(2x-1)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{1}{2}$。对应 $y$ 值分别为 $0$ 和 $\frac{1}{2}$，故交点为 $(0,0)$ 和 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。在区间 $[0,\frac{1}{2}]$ 上，直线 $y=x$ 位于抛物线 $y=2x^2$ 上方。

面积 $S = \int_{0}^{1/2} (x - 2x^2) \, dx$。计算原函数：$\frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}$。代入上下限：在 $x=\frac{1}{2}$ 处，$\frac{(1/2)^2}{2} = \frac{1}{8}$，$\frac{2(1/2)^3}{3} = \frac{1}{12}$，差值为 $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$；在 $x=0$ 处为 $0$。故 $S = \frac{1}{24}$。

使用圆盘法，体积 $V_x = \pi \int_{0}^{1/2} \left[ (x)^2 - (2x^2)^2 \right] dx = \pi \int_{0}^{1/2} (x^2 - 4x^4) \, dx$。计算原函数：$\frac{x^3}{3} - \frac{4x^5}{5}$。代入 $x=\frac{1}{2}$：$\frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{1}{60}$；$x=0$ 时为 $0$。故 $V_x = \frac{\pi}{60}$。

将曲线改写为 $x$ 关于 $y$ 的函数：$y=2x^2 \Rightarrow x = \sqrt{\frac{y}{2}}$（取正），$y=x \Rightarrow x=y$。在 $y \in [0,\frac{1}{2}]$ 上，外半径为 $\sqrt{\frac{y}{2}}$，内半径为 $y$。体积 $V_y = \pi \int_{0}^{1/2} \left[ \left(\sqrt{\frac{y}{2}}\right)^2 - y^2 \right] dy = \pi \int_{0}^{1/2} \left( \frac{y}{2} - y^2 \right) dy$。计算原函数：$\frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{3}$。代入 $y=\frac{1}{2}$：$\frac{1}{16} - \frac{1}{24} = \frac{1}{48}$；$y=0$ 时为 $0$。故 $V_y = \frac{\pi}{48}$。

使用圆盘法（绕 $y$ 轴），外半径 $R(y)=\sqrt{y/2}$，内半径 $r(y)=y$，体积 $V_y = \pi \int_0^{1/2} \left[ \left( \sqrt{\frac{y}{2}} \right)^2 - y^2 \right] dy = \pi \int_0^{1/2} \left( \frac{y}{2} - y^2 \right) dy$。计算得 $\pi \left[ \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{3} \right]_0^{1/2} = \pi \left( \frac1{16} - \frac1{24} \right) = \frac{\pi}{48}$。

计算 $V_y = \pi \int_0^{1/2} \left( y^2 - \frac{y}{2} \right) dy = \pi \left[ \frac{y^3}{3} - \frac{y^2}{4} \right]_0^{1/2}$。代入上限 $y=\frac{1}{2}$：$\frac{(1/2)^3}{3} = \frac{1}{24}$，$\frac{(1/2)^2}{4} = \frac{1}{16}$，所以 $V_y = \pi \left( \frac{1}{24} - \frac{1}{16} \right) = \pi \cdot \frac{2-3}{48} = -\frac{\pi}{48}$。体积取正值，故 $V_y = \frac{\pi}{48}$。