东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且
$$
f^{2}(1)-f^{2}(0)=2026
$$
证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) f(\xi)=2026 \xi$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析结论形式，构造辅助函数
要证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)f(\xi)=2026\xi$，可将其变形为 $2f(\xi)f'(\xi)=2\cdot2026\xi$。注意到左边是 $(f^2(x))'$ 在 $x=\xi$ 处的值，右边是 $(2026x^2)'$ 在 $x=\xi$ 处的值。因此构造辅助函数 $F(x)=f^2(x)-2026x^2$，则 $F'(x)=2f(x)f'(x)-2\cdot2026x$。问题转化为证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：$F(x)=f^2(x)-2026x^2$，$F'(x)=2f(x)f'(x)-2\cdot2026x$
提示：构造辅助函数时，通常将待证等式两边视为某个函数的导数，通过移项构造差函数。
步骤 2/4
目标：利用已知条件计算端点值
已知 $f^2(1)-f^2(0)=2026$。计算 $F(0)=f^2(0)-0=f^2(0)$，$F(1)=f^2(1)-2026$。于是 $F(1)-F(0)=[f^2(1)-2026]-f^2(0)=(f^2(1)-f^2(0))-2026=2026-2026=0$，即 $F(1)=F(0)$。
公式：$F(1)=F(0)$
提示：注意 $F(0)$ 中 $2026\cdot0^2=0$，不要遗漏。
步骤 3/4
目标：验证辅助函数满足罗尔定理条件
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，而 $2026x^2$ 是多项式函数，也在 $[0,1]$ 上连续、在 $(0,1)$ 上可导，因此 $F(x)=f^2(x)-2026x^2$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导。且已证 $F(0)=F(1)$，故满足罗尔定理的全部条件。
公式：$F(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 可导，且 $F(0)=F(1)$
提示：注意复合函数 $f^2(x)$ 的可导性：$f$ 可导则 $f^2$ 也可导。
步骤 4/4
目标：应用罗尔定理得出结论
由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。即 $2f(\xi)f'(\xi)-2\cdot2026\xi=0$，两边除以2得 $f(\xi)f'(\xi)=2026\xi$。证毕。
公式：$F'(\xi)=0 \Rightarrow f(\xi)f'(\xi)=2026\xi$
提示：罗尔定理保证存在性，无需解出具体的 $\xi$。
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