东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-6 x+8 y$ 在区域 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leq 25$ 上的最大值与最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题与基本思路
函数 $f(x,y)=x^2+y^2-6x+8y$ 定义在闭圆盘 $D: x^2+y^2 \leq 25$ 上。由于 $f$ 连续且 $D$ 是紧集，最值存在，可能出现在内部驻点或边界上。
公式：D: x^2+y^2 \leq 25
提示：注意区分内部和边界，内部需梯度为零，边界可用拉格朗日乘数法或参数化。
步骤 2/6
目标：求内部驻点
计算偏导数：$f_x = 2x - 6$，$f_y = 2y + 8$。令 $f_x=0$，$f_y=0$ 得 $x=3$，$y=-4$。检查是否在内部：$3^2+(-4)^2=25$，恰好在边界上，因此内部无驻点。
公式：f_x=0 \Rightarrow x=3,\quad f_y=0 \Rightarrow y=-4
提示：驻点若在边界上，则不属于内部，需在边界部分处理。
步骤 3/6
目标：边界上用拉格朗日乘数法
边界条件 $g(x,y)=x^2+y^2-25=0$。构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)=x^2+y^2-6x+8y+\lambda(x^2+y^2-25)$。求偏导：
$L_x=2x-6+2\lambda x=0$，
$L_y=2y+8+2\lambda y=0$，
$L_\lambda=x^2+y^2-25=0$。
由前两式得 $x(1+\lambda)=3$，$y(1+\lambda)=-4$。由于 $1+\lambda \neq 0$，两式相除得 $\frac{x}{y}=\frac{3}{-4}$，即 $y=-\frac{4}{3}x$。
公式：x(1+\lambda)=3,\quad y(1+\lambda)=-4,\quad y=-\frac{4}{3}x
提示：注意 $1+\lambda=0$ 会导致矛盾，故可安全相除。
步骤 4/6
目标：代入圆的方程求解候选点
将 $y=-\frac{4}{3}x$ 代入 $x^2+y^2=25$：$x^2+\frac{16}{9}x^2=25$，即 $\frac{25}{9}x^2=25$，得 $x^2=9$，所以 $x=3$ 或 $x=-3$。对应 $y=-4$ 或 $y=4$。得到候选点 $(3,-4)$ 和 $(-3,4)$。
公式：x^2+\frac{16}{9}x^2=25 \Rightarrow x=\pm 3,\quad y=\mp 4
提示：注意符号对应关系，避免代入错误。
步骤 5/6
目标：计算候选点的函数值
计算 $f(3,-4)=3^2+(-4)^2-6\cdot3+8\cdot(-4)=9+16-18-32=-25$。
计算 $f(-3,4)=(-3)^2+4^2-6\cdot(-3)+8\cdot4=9+16+18+32=75$。
公式：f(3,-4)=-25,\quad f(-3,4)=75
提示：计算时注意符号，特别是负号的处理。
步骤 6/6
目标：验证并给出最值结论
通过参数化验证：令 $x=5\cos\theta$，$y=5\sin\theta$，则 $f=25-30\cos\theta+40\sin\theta=25+50\sin(\theta-\phi)$，其中 $\tan\phi=3/4$。最大值 $25+50=75$，最小值 $25-50=-25$，与拉格朗日乘数法结果一致。
因此，在区域 $D$ 上，最大值为 $75$，在点 $(-3,4)$ 取得；最小值为 $-25$，在点 $(3,-4)$ 取得。
公式：f_{\max}=75,\quad f_{\min}=-25
提示：参数化方法可验证边界上是否遗漏极值点，确保答案完整。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
函数 $f(x,y)=x^2+y^2-6x+8y$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大值为 $75$，最小值为 $-25$。
提示：最终答案需明确写出最大值和最小值，并注意单位（本题无单位）。
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