东北师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $\displaystyle k(x, y) \in C([0,1] \times[0,1]), f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且
$$
h(x)=\int_{0}^{x} f(y) k(x, y) \mathrm{d} y
$$
证明：$\displaystyle h(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确证明目标与思路
要证明 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，即对任意 $x_0 \in [0,1]$，证明 $\lim_{x \to x_0} h(x) = h(x_0)$。由于 $h(x)$ 的积分上限和被积函数均依赖于 $x$，需要同时处理积分区域的变化和被积函数的变化。
公式：\lim_{x \to x_0} h(x) = h(x_0)
提示：注意 $x$ 的变化同时影响积分上限和被积函数中的参数 $x$，不能只考虑其中一个方面。
步骤 2/5
目标：写出差分的表达式并拆分
设 $x, x_0 \in [0,1]$，不妨设 $x > x_0$（另一种情况对称）。则
$$
h(x) - h(x_0) = \int_0^x f(y) k(x,y)\,dy - \int_0^{x_0} f(y) k(x_0,y)\,dy.
$$
将积分区间拆分为 $[0, x_0]$ 和 $[x_0, x]$，得到
$$
h(x)-h(x_0) = \int_0^{x_0} f(y)[k(x,y)-k(x_0,y)]\,dy + \int_{x_0}^{x} f(y) k(x,y)\,dy.
$$
第一部分积分区间固定，被积函数随 $x$ 变化；第二部分积分区间长度趋于零。
公式：h(x)-h(x_0) = \int_0^{x_0} f(y)[k(x,y)-k(x_0,y)]\,dy + \int_{x_0}^{x} f(y) k(x,y)\,dy
提示：拆分时注意积分限的变化，确保两个积分覆盖原差分的全部区域。
步骤 3/5
目标：利用一致连续性处理第一部分
由于 $k(x,y)$ 在闭区域 $[0,1]\times[0,1]$ 上连续，因此一致连续。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，当 $|x-x_0|<\delta_1$ 时，对所有 $y\in[0,1]$ 有 $|k(x,y)-k(x_0,y)|<\varepsilon$。
于是当 $|x-x_0|<\delta_1$ 时，第一部分的绝对值满足
$$
\left|\int_0^{x_0} f(y)[k(x,y)-k(x_0,y)]\,dy\right| \le \int_0^{x_0} |f(y)| \cdot \varepsilon \,dy \le \varepsilon \int_0^1 |f(y)|\,dy.
$$
记 $M = \int_0^1 |f(y)|\,dy$（$f$ 可积，故 $M$ 为有限常数），则第一部分绝对值 $\le M\varepsilon$。
公式：\left|\int_0^{x_0} f(y)[k(x,y)-k(x_0,y)]\,dy\right| \le M\varepsilon
提示：一致连续性保证了 $\delta_1$ 与 $y$ 无关，这是处理含参变量积分的关键。
步骤 4/5
目标：处理第二部分（积分区间变化）
第二部分为 $\int_{x_0}^{x} f(y) k(x,y)\,dy$。由于 $k$ 在闭区域上连续，存在最大值 $K = \max_{[0,1]\times[0,1]} |k(x,y)|$。于是
$$
\left|\int_{x_0}^{x} f(y) k(x,y)\,dy\right| \le K \int_{x_0}^{x} |f(y)|\,dy.
$$
因为 $f$ 可积，$|f|$ 也可积，且其积分是区间长度的连续函数。故对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_2>0$，当 $|x-x_0|<\delta_2$ 时，$\int_{x_0}^{x} |f(y)|\,dy < \varepsilon$。从而第二部分绝对值 $\le K\varepsilon$。
公式：\left|\int_{x_0}^{x} f(y) k(x,y)\,dy\right| \le K \int_{x_0}^{x} |f(y)|\,dy \le K\varepsilon
提示：这里利用了可积函数的绝对可积性以及积分对区间长度的连续性，注意 $x_0$ 和 $x$ 的大小关系。
步骤 5/5
目标：综合得到连续性结论
取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，则当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有
$$
|h(x)-h(x_0)| \le M\varepsilon + K\varepsilon = (M+K)\varepsilon.
$$
由于 $\varepsilon$ 可以任意小，故 $\lim_{x\to x_0} h(x) = h(x_0)$，即 $h$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$h(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
公式：|h(x)-h(x_0)| \le (M+K)\varepsilon
提示：最终取 $\delta$ 为两个 $\delta$ 的最小值，确保两部分同时被控制。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $x_0$ 的任意性，$h(x)$ 在 $[0,1]$ 上每一点都连续，因此 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
提示：证明完成，注意总结时强调闭区间上连续性的定义。
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