东南大学 2020年数学分析第4题
📝 题目
4．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}} d x \cdot \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} d x$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察积分形式，联想到Beta函数
题目要求计算两个积分的乘积：
\[
I_1 = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}} dx, \quad I_2 = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} dx
\]
分母均为 \(\sqrt{1-x^4}\)，分子分别为 \(1\) 和 \(x^2\)。这种形式提示我们可以通过变量替换化为Beta函数：
\[
\int_0^1 x^{a-1} (1-x^m)^{b-1} dx
\]
公式：Beta函数定义：\(B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt\)
提示：注意观察分母中的 \(1-x^4\)，通常令 \(t = x^4\) 可将积分区间变为 \([0,1]\) 并出现 \((1-t)\) 的形式。
步骤 2/6
目标：对第一个积分进行变量替换
令 \(t = x^4\)，则 \(x = t^{1/4}\)，\(dx = \frac{1}{4} t^{-3/4} dt\)。当 \(x=0\) 时 \(t=0\)，\(x=1\) 时 \(t=1\)。
第一个积分变为：
\[
I_1 = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t}} \cdot \frac{1}{4} t^{-3/4} dt = \frac14 \int_0^1 t^{-3/4} (1-t)^{-1/2} dt
\]
对照Beta函数形式 \(B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt\)，有 \(p-1 = -3/4 \Rightarrow p = 1/4\)，\(q-1 = -1/2 \Rightarrow q = 1/2\)。
因此：
\[
I_1 = \frac14 B\left(\frac14, \frac12\right)
\]
公式：Beta函数：\(B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt\)
提示：注意 \(t^{-3/4}\) 对应 \(p-1 = -3/4\)，不要混淆指数与参数的关系。
步骤 3/6
目标：对第二个积分进行变量替换
同样令 \(t = x^4\)，则 \(x^2 = t^{1/2}\)，\(dx = \frac14 t^{-3/4} dt\)。
第二个积分变为：
\[
I_2 = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^4}} dx = \int_0^1 \frac{t^{1/2}}{\sqrt{1-t}} \cdot \frac14 t^{-3/4} dt = \frac14 \int_0^1 t^{-1/4} (1-t)^{-1/2} dt
\]
对照Beta函数形式，有 \(p-1 = -1/4 \Rightarrow p = 3/4\)，\(q-1 = -1/2 \Rightarrow q = 1/2\)。
因此：
\[
I_2 = \frac14 B\left(\frac34, \frac12\right)
\]
公式：Beta函数：\(B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt\)
提示：注意 \(x^2 = t^{1/2}\)，与 \(dx\) 中的 \(t^{-3/4}\) 相乘后指数为 \(1/2 - 3/4 = -1/4\)，不要算错指数。
步骤 4/6
目标：将乘积转化为Beta函数乘积
所求乘积为：
\[
I_1 \cdot I_2 = \left( \frac14 B\left(\frac14, \frac12\right) \right) \cdot \left( \frac14 B\left(\frac34, \frac12\right) \right) = \frac{1}{16} \, B\left(\frac14, \frac12\right) B\left(\frac34, \frac12\right)
\]
公式：乘积形式：\(\frac{1}{16} B(\frac14, \frac12) B(\frac34, \frac12)\)
提示：系数 \(1/16\) 来自两个 \(1/4\) 相乘，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：利用Beta函数与Gamma函数的关系化简
利用公式 \(B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\)，有：
\[
B\left(\frac14, \frac12\right) = \frac{\Gamma(1/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(3/4)}, \quad B\left(\frac34, \frac12\right) = \frac{\Gamma(3/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(5/4)}
\]
乘积为：
\[
\frac{\Gamma(1/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(3/4)} \cdot \frac{\Gamma(3/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(5/4)} = \frac{\Gamma(1/4) \Gamma(1/2)^2}{\Gamma(5/4)}
\]
已知 \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)，且由Gamma函数递推公式 \(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\) 得 \(\Gamma(5/4) = \frac14 \Gamma(1/4)\)。
代入得：
\[
\frac{\Gamma(1/4) \cdot \pi}{\frac14 \Gamma(1/4)} = 4\pi
\]
公式：Gamma函数关系：\(\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}\)，\(\Gamma(5/4)=\frac14\Gamma(1/4)\)
提示：注意 \(\Gamma(5/4) = \Gamma(1/4+1) = \frac14 \Gamma(1/4)\)，这是化简的关键步骤。
步骤 6/6
目标：乘上系数得到最终结果
前面有系数 \(\frac{1}{16}\)，因此最终结果为：
\[
\frac{1}{16} \times 4\pi = \frac{\pi}{4}
\]
公式：最终结果：\(\frac{\pi}{4}\)
提示：计算系数时注意 \(1/16 \times 4 = 1/4\)，不要算错。
步骤 7/8
目标：应用Gamma函数性质求值
由Gamma函数性质：$\Gamma(5/4) = \frac{1}{4} \Gamma(1/4)$，且 $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$。代入得
$I \cdot J = \frac{1}{16} \cdot \frac{\Gamma(1/4) \cdot \pi}{\frac{1}{4} \Gamma(1/4)} = \frac{1}{16} \cdot 4\pi = \frac{\pi}{4}$。
公式：\Gamma(z+1) = z\Gamma(z), \quad \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}
提示：注意 $\Gamma(5/4) = \Gamma(1/4+1) = \frac{1}{4}\Gamma(1/4)$，不要写反。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
故所求积分为 $\frac{\pi}{4}$。
提示：最终答案应化简为最简形式。
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