东南大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
一、求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\arctan n+\sin n)^{\frac{1}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：取对数转化极限形式
设 $a_n = (\arctan n + \sin n)^{1/n}$，则 $\ln a_n = \frac{1}{n} \ln(\arctan n + \sin n)$。原极限转化为求 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n$，再通过指数函数还原。
公式：$\ln a_n = \frac{1}{n} \ln(\arctan n + \sin n)$
提示：注意取对数后要保证真数大于0，这里 $\arctan n + \sin n$ 恒正。
步骤 2/5
目标：估计括号内表达式的范围
当 $n \to \infty$ 时，$\arctan n \to \frac{\pi}{2}$，而 $\sin n$ 在 $[-1,1]$ 之间振荡，因此 $\arctan n + \sin n$ 介于 $\frac{\pi}{2} - 1$ 与 $\frac{\pi}{2} + 1$ 之间。由于 $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$，这两个界均为正数。
公式：$\frac{\pi}{2} - 1 \le \arctan n + \sin n \le \frac{\pi}{2} + 1$
提示：不要忽略 $\sin n$ 的振荡性，但只需知道其有界即可。
步骤 3/5
目标：证明对数项有界
由于 $\arctan n + \sin n$ 被两个正常数夹住，其对数 $\ln(\arctan n + \sin n)$ 也被某个常数 $M$ 控制，即存在 $M>0$ 使得 $|\ln(\arctan n + \sin n)| \le M$ 对所有 $n$ 成立。
公式：$|\ln(\arctan n + \sin n)| \le M$
提示：有界性来源于连续函数在闭区间上的最值，这里上下界均为常数。
步骤 4/5
目标：利用夹逼定理求对数极限
由 $|\ln a_n| = \frac{1}{n} |\ln(\arctan n + \sin n)| \le \frac{M}{n}$，且 $\lim_{n\to\infty} \frac{M}{n} = 0$，根据夹逼定理得 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 0$。
公式：$0 \le |\ln a_n| \le \frac{M}{n} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \ln a_n = 0$
提示：注意绝对值处理，夹逼定理要求不等式两边极限相等。
步骤 5/5
目标：还原原极限
因为 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 0$，且指数函数连续，所以 $\lim_{n\to\infty} a_n = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} (\arctan n + \sin n)^{1/n} = e^{\lim_{n\to\infty} \ln a_n} = e^0 = 1$
提示：指数函数的连续性保证了极限与函数次序可交换。
步骤 6/6
目标：夹逼法验证（可选）
利用夹逼定理：存在 $N$，当 $n > N$ 时，$\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} < \arctan n < \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$，且 $-1 \leq \sin n \leq 1$，所以
$$
\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} < \arctan n + \sin n < \frac{\pi}{2} + \frac{3}{2}.
$$
取 $n$ 次根号：
$$
\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2}\right)^{1/n} < (\arctan n + \sin n)^{1/n} < \left(\frac{\pi}{2} + \frac{3}{2}\right)^{1/n}.
$$
由于 $\lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1$ 对任何 $a > 0$ 成立，由夹逼定理得极限为 $1$。
公式：夹逼定理：若 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 且 $\lim a_n = \lim c_n = L$，则 $\lim b_n = L$
提示：注意 $\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \approx 0.0708 > 0$，确保底数为正。
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