东南大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
七、设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的可积函数列，且一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且
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\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
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💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆一致收敛与可积性的关系
已知每个 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，且函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛到 $f$。一致收敛意味着：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得当 $n>N$ 时，对所有 $x\in[a,b]$ 都有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall x\in[a,b]: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon
提示：一致收敛的 $\varepsilon$ 与 $x$ 无关，这是证明的关键。
步骤 2/5
目标：证明极限函数 $f$ 有界
由于每个 $f_n$ 可积，故有界。取 $N$ 使得 $|f(x)-f_N(x)|<1$ 对所有 $x$ 成立，则 $|f(x)| \le |f_N(x)|+1$。因为 $f_N$ 有界，所以 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。
公式：|f(x)| \le |f_N(x)|+1
提示：Riemann 可积函数必有界，但反之不真。
步骤 3/5
目标：证明 $f$ 可积（用达布上下和判别）
给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使对所有 $x$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)}$（$n>N$）。固定 $n=N+1$，由于 $f_n$ 可积，存在划分 $P$ 使得其振幅和 $U(P,f_n)-L(P,f_n)<\frac{\varepsilon}{3}$。对同一划分，$f$ 的振幅最多比 $f_n$ 的振幅大 $2\cdot\frac{\varepsilon}{3(b-a)}$，因此 $U(P,f)-L(P,f) \le U(P,f_n)-L(P,f_n) + 2\cdot\frac{\varepsilon}{3(b-a)}\cdot(b-a) < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{2\varepsilon}{3}=\varepsilon$。由 Riemann 可积判别法，$f$ 可积。
公式：U(P,f)-L(P,f) \le U(P,f_n)-L(P,f_n) + 2\cdot\frac{\varepsilon}{3(b-a)}\cdot(b-a) < \varepsilon
提示：注意振幅的放大：$\omega_f \le \omega_{f_n} + 2\delta$，其中 $\delta$ 是一致逼近误差。
步骤 4/5
目标：证明积分极限交换
由于 $f_n$ 一致收敛到 $f$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$。于是 $\left|\int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f_n(x)-f(x)|\,dx \le \frac{\varepsilon}{b-a}\cdot(b-a)=\varepsilon$。这就证明了 $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$。
公式：\left|\int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f_n(x)-f(x)|\,dx \le \varepsilon
提示：积分与极限交换的充分条件之一是一致收敛，但非必要。
步骤 5/5
目标：总结结论
由一致收敛性及 Riemann 可积的判别法可知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，并且 $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$。证毕。
提示：本题是数学分析中一致收敛函数列性质的标准结论。
步骤 6/6
目标：由极限定义得出结论
由 $\varepsilon$ 的任意性，可知 $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx = \int_a^b f(x)dx$。
提示：注意极限定义中 $\varepsilon$ 的任意性。
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