东南大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
三、求 $\displaystyle 2 x-y=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上的点到原点的最近距离．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立距离表达式
设点 $P(x,y,z)$ 在交线上，它到原点的距离平方为 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。由球面方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 可知，交线上的点都满足该方程，因此 $d^2 = 1$，即距离恒为 $1$。
公式：d^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 1
提示：注意球面方程直接给出了距离平方，不要忽略这一条件。
步骤 2/3
目标：验证交线是否存在
计算原点 $(0,0,0)$ 到平面 $2x - y - 1 = 0$ 的距离：$\frac{|2\cdot 0 - 0 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$。该距离小于球半径 $1$，因此平面与球面相交，交线为一个空间圆。
公式：\text{距离} = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
提示：平面与球面相交的条件是球心到平面的距离小于或等于球半径。
步骤 3/3
目标：得出结论
由于交线上的所有点都在球面上，而球面半径为 $1$，因此所有点到原点的距离均为 $1$，最近距离即为 $1$。
公式：d_{\min} = 1
提示：不要误以为需要求极值，这里距离是常数。
步骤 4/7
目标：情况一：$\mu = -1$
代入前两个方程：$x(0)+\lambda=0 \Rightarrow \lambda=0$，$y(0)-\lambda=0$ 自动成立。此时约束条件为 $2x-y=1$ 和 $x^2+y^2+z^2=1$，无额外限制，说明整个交线均为候选点，其上任意点满足 $x^2+y^2+z^2=1$，故距离为 $1$。
公式：当 $\mu=-1$ 时，$\lambda=0$，约束退化为原方程组
提示：此情况表明极值可能在整个约束曲面上取到，需结合几何意义判断。
步骤 5/7
目标：情况二：$z=0$
由 $z=0$ 及前两个方程：$x(1+\mu)+\lambda=0$，$y(1+\mu)-\lambda=0$。结合平面约束 $2x-y=1$ 和球面约束 $x^2+y^2=1$（因 $z=0$）。解方程组：由 $y=2x-1$ 代入 $x^2+(2x-1)^2=1$，得 $5x^2-4x=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{4}{5}$。
公式：$x^2+(2x-1)^2=1 \Rightarrow 5x^2-4x=0$
提示：解二次方程时注意不要遗漏解，并回代求 $y$。
步骤 6/7
目标：计算候选点及距离
当 $x=0$ 时，$y=-1$，得点 $(0,-1,0)$，距离 $\sqrt{0^2+(-1)^2+0^2}=1$。当 $x=\frac{4}{5}$ 时，$y=\frac{3}{5}$，得点 $(\frac{4}{5},\frac{3}{5},0)$，距离 $\sqrt{(\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2+0^2}=1$。所有候选点到原点距离均为 $1$。
公式：$d = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = 1$
提示：计算距离时注意平方和开方，结果均为1。
步骤 7/7
目标：得出结论
综合两种情况，交线上任意点到原点的距离均为 $1$，故最近距离为 $1$。
公式：$\min\, d = 1$
提示：本题几何意义明确，拉格朗日乘数法验证了恒等距离。
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