东南大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
二、求曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} \frac{(z+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+1) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
$$
其中 $\displaystyle \Sigma: \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$ ，取下侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数分母
由于曲面 $\Sigma$ 满足 $x^2+y^2+z^2=9$，分母为常数，故积分简化为：
$$ I = \frac{1}{9} \iint_{\Sigma} (z+1) \, dy\,dz + (y+1) \, dz\,dx + (x+1) \, dx\,dy $$
公式：$$x^2+y^2+z^2=9$$
提示：注意曲面方程在积分曲面上的恒等式，不要忘记分母是常数。
步骤 2/6
目标：化为第二类曲面积分标准形式
令向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$，其中 $P=z+1,\; Q=y+1,\; R=x+1$，则原积分写为：
$$ I = \frac{1}{9} \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy $$
公式：$$\mathbf{F}=(z+1,\; y+1,\; x+1)$$
提示：注意第二类曲面积分中 $dy\,dz$、$dz\,dx$、$dx\,dy$ 的对应关系。
步骤 3/6
目标：补面并应用高斯公式
$\Sigma$ 为下半球面取下侧，不封闭。补平面圆盘 $\Sigma_1: z=0,\; x^2+y^2\le 9$，取上侧，则 $\Sigma\cup\Sigma_1$ 构成封闭曲面且取外侧。由高斯公式：
$$ \iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV $$
其中 $V$ 为下半球体 $x^2+y^2+z^2\le 9,\; z\le 0$。
公式：$$\iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$$
提示：补面时注意方向：下半球取下侧，平面圆盘应取上侧才能构成外侧封闭曲面。
步骤 4/6
目标：计算散度与三重积分
计算散度：
$$ \frac{\partial P}{\partial x}=0,\; \frac{\partial Q}{\partial y}=1,\; \frac{\partial R}{\partial z}=0 $$
散度为 $1$。下半球体积为半径 $3$ 的半球体积：
$$ V = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3 = 18\pi $$
因此
$$ \iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} = 18\pi $$
公式：$$\iiint_V 1\,dV = 18\pi$$
提示：半球体积公式不要忘记乘以 $1/2$。
步骤 5/6
目标：计算平面部分 Σ₁ 的曲面积分
在 $\Sigma_1$ 上，$z=0,\; dz=0$，方向向上，故 $dy\,dz=0,\; dz\,dx=0$，仅剩 $dx\,dy$ 项：
$$ \iint_{\Sigma_1} (x+1)\,dx\,dy $$
由对称性，$\iint x\,dx\,dy=0$，圆盘面积 $\iint 1\,dx\,dy = 9\pi$，所以
$$ \iint_{\Sigma_1} = 9\pi $$
公式：$$\iint_{x^2+y^2\le 9} (x+1)\,dx\,dy = 9\pi$$
提示：注意平面部分方向为上侧，$dx\,dy$ 前为正；利用对称性简化计算。
步骤 6/6
目标：求解原曲面积分并得到最终答案
由封闭曲面关系：
$$ \iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} = 18\pi $$
得
$$ \iint_{\Sigma} = 18\pi - 9\pi = 9\pi $$
乘以因子 $\frac{1}{9}$ 得：
$$ I = \frac{1}{9}\cdot 9\pi = \pi $$
公式：$$I = \pi$$
提示：不要忘记原积分前的 $1/9$ 因子。
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