东南大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
五、设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，满足： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>1$ ，证明：此时交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件并明确证明目标
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是正项级数，且满足极限条件 $\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = \lambda > 1$。需要证明交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 收敛。
公式：$\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = \lambda > 1$
提示：注意条件是正项级数，且极限值大于1，这是后续推导单调性和极限的关键。
步骤 2/6
目标：由极限条件推导出不等式关系
由于 $\lambda > 1$，可取 $\mu$ 满足 $1 < \mu < \lambda$。由极限定义，存在 $N$，当 $n \geq N$ 时，有 $n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) > \mu > 1$。因此 $\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 > \frac{1}{n}$，即 $\frac{a_n}{a_{n+1}} > 1 + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}$。
公式：$\frac{a_n}{a_{n+1}} > \frac{n+1}{n}$
提示：取介于1和λ之间的数μ是为了严格得到大于1/n的不等式，避免直接使用极限值可能带来的边界问题。
步骤 3/6
目标：推导数列的单调递减性
由 $\frac{a_n}{a_{n+1}} > \frac{n+1}{n}$ 可得 $a_{n+1} < \frac{n}{n+1} a_n$。由于 $\frac{n}{n+1} < 1$，因此当 $n \geq N$ 时，数列 $\{a_n\}$ 严格单调递减。
公式：$a_{n+1} < \frac{n}{n+1} a_n$
提示：单调递减性是从某一项开始成立的，不影响级数收敛性的判断（有限项可忽略）。
步骤 4/6
目标：证明数列趋于零
反复利用 $a_{n+1} < \frac{n}{n+1} a_n$，从 $N$ 开始递推可得 $a_n < \frac{N}{n} a_N$（对 $n > N$）。由于 $\frac{N a_N}{n} \to 0$，由夹逼定理知 $a_n \to 0$。
公式：$a_n < \frac{N a_N}{n}$，$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
提示：这里用到了比较判别法思想，将a_n与1/n阶的量比较，确保趋于零。
步骤 5/6
目标：应用莱布尼茨判别法
交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 满足莱布尼茨判别法的两个条件：从某项起 $a_n$ 单调递减，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。因此该交错级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $a_n$ 单调递减趋于0，则 $\sum (-1)^{n-1} a_n$ 收敛
提示：莱布尼茨判别法只要求单调递减趋于0，不要求严格单调，但这里严格递减更满足条件。
步骤 6/6
目标：总结结论
由已知极限条件推出 $a_n$ 从某 $N$ 开始严格单调递减且趋于零，满足莱布尼茨判别法，故交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 收敛。
公式：结论：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 收敛
提示：注意原级数是正项级数，但这里证明的是交错级数收敛，两者不同。
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